求递推数列的通项公式的十一种方法.doc
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1、_求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来,这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1 在数列中,,,求通项公式.解:原递推式可化为:则 ,逐项相加得:.故.二、作商求和法例2 设数列是首项为1的正项数列,且(n=1,2,3),则它的通项公式是=(2000年高考15题)解:原递推式可化为: =0 0, 则 , 逐项相乘得:,即=.三、换元法例3 已知数列,其中,且当n3时,求通项公式(1986年高考文科第八题改编).解:设,原递推式可化为: 是一个等比数列,公比为.故.故.由逐差法可得:. 例4已知数列,其
2、中,且当n3时,求通项公式。解 由得:,令,则上式为,因此是一个等差数列,公差为1.故.。由于又所以,即 四、积差相消法 例5(1993年全国数学联赛题一试第五题)设正数列,满足= 且,求的通项公式.解 将递推式两边同除以整理得:设=,则=1,故有 ()由+ +()得=,即=.逐项相乘得:=,考虑到,故 . 五、取倒数法例6 已知数列中,其中,且当n2时,求通项公式。解 将两边取倒数得:,这说明是一个等差数列,首项是,公差为2,所以,即.六、取对数法例7 若数列中,=3且(n是正整数),则它的通项公式是=(2002年上海高考题).解 由题意知0,将两边取对数得,即,所以数列是以=为首项,公比为
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