冯恩信电磁场与电磁波 课后习题答案.doc
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1、如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流冯恩信 电磁场与电磁波 课后习题答案【精品文档】第 30 页习题1.1 已知,求:(a) A和B 的大小(模); (b) A和B的单位矢量;(c) ;(d) ;(e)A和B之间的夹角;(f) A在B上的投影。解:(a) A和B 的大小 (b) A和B的单位矢量(c) (d) (e)A和B之间的夹角 根据得(f) A在B上的投影1.2如果矢量A、B和C在同一平面,证明A(BC)=0。 证明:设矢量A、B和C所在平面为平面1.3已知A=、B和C,证明这三个矢量都是单位矢量,且三个矢量是共面的。证明:1)三个矢量都是单位矢量2)三个矢量是共面的1.4 ;,当时
2、,求。解:当时, 所以1.5证明三个矢量A、B和C形成一个三角形的三条边,并利用矢积求此三角形的面积。证明 :因为所以三个矢量A、B和C形成一个三角形此三角形的面积为1.6 P点和Q点的位置矢量分别为和,求从P点到Q点的距离矢量及其长度。 解:从P点到Q点的距离矢量为从P点到Q点的距离为1.7 求与两矢量A和B都正交的单位矢量。解:设矢量与两矢量A和B都正交,则 (1) (2)(1)+(2) 得 (3)(1)+3(2)得 (4)如果矢量是单位矢量,则所以 1.8将直角坐标系中的矢量场分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。解:在圆柱坐标系中在圆球坐标系中1.9 将圆柱坐标系中的矢量场用直角坐标
3、系中的坐标分量表示。解:根据 (1)得又因为 (2)利用(2)式可得 1.10 将圆球坐标系中的矢量场用直角坐标系中的坐标分量表示。解:根据 (1)得又因为(2)得 1.11 计算在圆柱坐标系中两点和之间的距离。解:两点和之间的距离为1.12空间中同一点上有两个矢量,取圆柱坐标系,A,B,求:(a) A+B ; (b) AB; (c) A和B的单位矢量; (d) A和B之间的夹角; (e) A和B的大小; (f) A在B上的投影。解:(a)(b) (c) (d) A和B之间的夹角(e) A和B的大小(f) A在B上的投影1.13 矢量场中,取圆柱坐标系,已知在点矢量为A,在点矢量为B;求:(a
4、)A+B ; (b) AB;(c) A和B之间的夹角。解:转换到直角坐标系(a)A+B(b) AB(c) A和B之间的夹角1.14 计算在圆球坐标系中两点和之间的距离及从P点到Q点的距离矢量。解:根据圆球坐标与直角坐标的关系1.15空间中的同一点上有两个矢量,取圆球坐标系,A,B,求:(a) A+B ; (b) AB; (c) A和B的单位矢量; (d) A和B之间的夹角; (e) A和B的 大小; (f) A在B上的投影。解:(a)A+B (b) AB(c) A和B的单位矢量(d) A和B之间的夹角(e) A和B的 大小(f) A在B上的投影1.16 求的梯度。解:1.17 求标量场在点(1
5、,1,1)沿方向的变化率。解:所以 1.18由,利用圆柱坐标和直角坐标的关系,推导解:在直角坐标系中(1) (2)(3)(4)(5)由(2)、(3)式可得(6)(7)(8)(9)由(1)(5)式得而再由(6)(9)式可得1.19 求的梯度。解:1.20 由,利用圆球坐标和直角坐标的关系,推导解:1.21 求的梯度。解:1.22 求梯度,其中为常数。解:1.23在圆球坐标系中,矢量场为,其中为常数,证明矢量场对任意闭合曲线的环量积分为零,即 证明:根据斯托克思定理:=0所以 =01.23 证明(1);(2)。证明:(1)(2)1.24 由A 推导。解:图111.25由推导和解: (1)由得 (2
6、) 1.26 计算下列矢量场的散度a) b) c) 解:a) b) c) 1.27 计算散度,其中为常矢量。解:1.28 由推导。解:1.29 已知 a) (r) b) (r)= c) (r)=求。解:a)b) c) 1.30求矢量场穿过由确定的区域的封闭面的通量。解:解法1:为半径为1的圆弧侧面;为侧平面;下端面;上端面。解法2:1.31由(A)推导A 。解:1)设,为边长为和的,中心在的矩形回路2)设,为边长为和的,中心在的矩形回路3)设,为边长为和的,中心在的矩形回路因此1.32计算矢量场的旋度解:1.33计算解:1.34 已知,计算解:对于任意矢量,若=01.35 证明矢量场E=既是无
7、散场,又是无旋场。证:1.36 已知E=,求E和E。解: 1.37 证明。解:1.38 已知计算解:根据亥姆霍兹定理其中因为,因此;对于所以 1.39已知计算解:根据亥姆霍兹定理其中因为,因此;对于所以第2章习题2-1.已知真空中有四个点电荷,分别位于(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0,),(0,-1,0)点,求(0,0,1)点的电场强度。解:2-2.已知线电荷密度为的均匀线电荷围成如图所示的几种形状,求P点的电场强度。 a b c题2-2图解:(a) 由对称性(b) 由对称性(c) 建立坐标系如图所示,两条半无限长线电荷产生的电场为半径为a的半圆环线电荷产生的电场为总电场为2-3
8、.真空中无限长的半径为a的半边圆筒上电荷密度为,求轴线上的电场强度。解:在无限长的半边圆筒上取宽度为的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为,对积分,可得真空中无限长的半径为a的半边圆筒在轴线上的电场强度为 题2-3图 题24图2-4.真空中无限长的宽度为a的平板上电荷密度为,求空间任一点上的电场强度。解: 在平板上处取宽度为的无限长窄条,可看成无限长的线电荷,电荷线密度为,在点处产生的电场为其中 对积分可得无限长的宽度为a的平板上的电荷在点处产生的电场为2-5.已知真空中电荷分布为r为场点到坐标原点的距离,a,b为常数。求电场强度。解:由于电荷分布具有球对称性,电场分布也具有球对称性
9、,取一半径为 r 的球面,利用高斯定理等式左边为 半径为 r 的球面内的电量为因此,电场强度为2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为r为场点到z轴的距离,a为常数。求电场强度。解: 由于电荷分布具有轴对称性,电场分布也具有轴对称性,取一半径为 r ,单位长度的圆柱面,利用高斯定理等式左边为半径为r 、高为1的圆柱面内的电量为因此,电场强度为2-7. 在直角坐标系中电荷分布为求电场强度。解: 由于电荷分布具有面对称性,电场分布也具有面对称性,取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S的电通量为,方形封闭面内的电量为因此,电场强度为2-8. 在直角坐标系中电荷分布为求电场强度。题28图解: 由于
10、电荷分布具有面对称性,电场分布也具有面对称性,取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S的电通量为,方形封闭面内的电量为 因此,电场强度为 2-9.在电荷密度为(常数)半径为a的带电球中挖一个半径为b的球形空腔,空腔中心到带电球中心的距离为c(b+ca对于r0半空间为介电常数为的介质,z0半空间为介电常数为的介质,当(1)电量为q的点电荷放在介质分界面上;(2)电荷线密度为的均匀线电荷放在介质分界面上。求电场强度。解:(1)电量为q的点电荷放在介质分界面上以点电荷为中心作以半径为r的球,利用高斯定理设上、下半球面上的电位移矢量分别、,根据对称性,在上、下半球面上大小分别相等,有根据边界
11、条件,因此(2)电荷线密度为的均匀线电荷放在介质分界面上 以线电荷为轴线作以半径为r单位长度的圆柱面,利用高斯定理设上、下半柱面上的电位移矢量分别、,根据对称性,在上、下半柱面上大小分别相等,有根据边界条件,因此2-34.面积为A,间距为d的平板电容器电压为V,介电常数为厚度为t的介质板分别按如图a、b所示的方式放置在两导电平板之间。分别计算两种情况下电容器中电场及电荷分布。题2.34图解:(a)设导体板之间介质与空气中的电场分别为、,那么、满足关系 (边界条件)求解以上两式得根据导体表面上的边界条件,在上、下导体表面上的电荷面密度为 (b) 由图可见,导体板之间介质与空气中的电场为根据导体表
12、面上的边界条件,在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为2-35 在内外半径分别为和之间的圆柱形区域内无电荷,在半径分别为和的圆柱面上电位分别为和0。求该圆柱形区域内的电位和电场。解:由电荷分布可知,电位仅是的函数,电位满足拉普拉斯方程,方程为解微分方程得利用边界条件得 , 因此2-36在半径分别为和的两同轴导电圆筒围成的区域内,电荷分布为,为常数,若介质介电常数为,内导体电位为V,外导体电位为0。求两导体间的电位分布。解:由电荷分布可知,电位仅是的函数,电位满足泊松方程解微分方程得利用边界条件得 2-37 两块电位分别为0和V的半无限大的导电平板构
13、成夹角为的角形区域,求该角形区域中的电位分布。 c b a 题2.37图 题2.38 图解:由题意,在圆柱坐标系中,电位仅是的函数,在导电平板之间电位方程为其通解为 由边界条件 ,得所以,2-38 .由导电平板制作的金属盒如图所示,除盒盖的电位为V外,其余盒壁电位为0,求盒内电位分布。解:用分离变量法,可得电位的通解为利用边界条件,可求出系数 (m、n为奇数) (m、n为偶数)2-39 在的匀强电场中沿z轴放一根半径为a的无限长导电圆柱后,求电位及电场。题2.39图解:由分离变量法,无限长导电圆柱外的电位的通解为 (1)设,当时的电位等于无导电圆柱的电位,即 (2)要使式(1)的电位在时等于式
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