2022年f分布t分布与卡方分布 .pdf
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1、106 1.4 常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、 t 分布及 F 分布都是由正态分布所导出的分布,它们与正态分布一起,是试验统计中常用的分布。当 X1、 X2、 Xn相互独立且都服从N(0,1) 时,Z=iiX2的分布称为自由度等于n 的2分布,记作 Z2(n) ,它的分布密度 p(z)=,00,2212122其他zexnznn式中的2n=udeuun012,称为 Gamma 函数,且1=1,21=。2分布是非对称分布,具有可加性,即当Y 与 Z相互独立,且Y2(n),Z2(m),则 Y+Z 2(n+m)。证明 : 先令 X1、 X2、 、 Xn、 Xn+1、 Xn+2、 Xn
2、+m相互独立且都服从N(0,1), 再根据2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性,令Y=X21+X22+X2n,Z=X21n+X22n+X2mn,Y+Z= X21+X22+X2n+ X21n+X22n+X2mn,即可得到 Y+Z 2(n+m)。2. t分布若 X 与 Y 相互独立,且XN(0,1),Y2(n),则 Z =nYX的分布称为自由度等于 n 的 t 分布,记作Z t (n),它的分布密度P(z)=)()(221nnn2121nnz。请注意: t 分布的分布密度也是偶函数,且当n30 时, t名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
3、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - 107 分布与标准正态分布N(0,1) 的密度曲线几乎重叠为一。这时, t 分布的分布函数值查N(0,1) 的分布函数值表便可以得到。3. F 分布若 X 与 Y 相互独立, 且 X2(n),Y2(m),则 Z=mYnX的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m 的 F 分布,记作ZF (n, m),它的分布密度p(z)=。其他, 00,2)(1222222zmnznmnzmnmnmmnn请注意: F 分布也是非对称分布,它的分布密度与自由度的次序有关,当ZF (n,
4、m)时,Z1F (m ,n)。4. t 分布与 F 分布的关系若 Xt(n) ,则 Y=X2F(1,n) 。证: Xt(n) ,X 的分布密度p(x)=221nnn2121nnx。 Y=X2的分布函数FY(y) =PYy=PX20 时, FY(y) =P-yXy =xdxpyy)(=2xdxpy)(0, Y=X2的分布密度pY(y)=21)(121221212nynynnnn,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - 10
5、8 与第一自由度等于1、第二自由度等于n 的 F 分布的分布密度相同,因此Y=X2F(1,n) 。为应用方便起见, 以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是,解应用问题时,通常是查分位数表。有关分位数的概念如下:4. 常用分布的分位数1)分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关,根据应用的需要,有三种不同的称呼,即分位数、上侧 分位数与双侧分位数,它们的定义如下:当随机变量X 的分布函数为F(x),实数 满足 0 1 时, 分位数是使PX =1- F()=的数 ,双侧 分位数是使PX 2=1- F(2)=0.5的数 2。因为 1- F()=,F()=1- ,所以上侧
6、 分位数 就是1- 分位数 x1-;F(1)=0.5,1- F(2)=0.5,所以双侧 分位数 1就是 0.5分位数 x0.5,双侧 分位数 2就是 1- 0.5分位数 x1- 0.5。2)标准正态分布的分位数记作u,0.5分位数记作u0.5,1- 0.5分位数记作u1- 0.5。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - 109 当 XN(0,1) 时, PX u=F 0,1(u)=,PXu0.5= F 0,1 (u0.5
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