【福建】高考数学复习方略:第5章《数列》第4节《数列求和》.ppt
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1、第四节 数列求和,1.公式法与分组求和法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 等差数列的前n项和公式: . 等比数列的前n项和公式:,(2)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.,【即时应用】 (1) (2)若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则数列an的前n项 和Sn=_. 【解析】(1) (1+2+3+10)+ (2)Sn=(2+22+23+2n)+1+3+5+(2n-1) 答案:(1) (2)2n+1+n2-2,2.倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列an
2、的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的.,(2)并项求和法 一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和. 形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+22-12 =(100+99)+(98+97)+(2+1)=5 050.,【即时应用】 (1)函数y=f(x)的图象关于点( ,1)对称,则f(-5)+f(-4) +f(0)+f(5)+f(6)=_. (2)若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,则S17+S33+S50等于_
3、. 【解析】(1)由题意知f(1-x)+f(x)=2, 设S=f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6), 则S=f(6)+f(5)+f(0)+f(-4)+f(-5), 2S=122,S=12.,(2)由题意知 S17=9,S33=17,S50=-25,S17+S33+S50=1. 答案:(1)12 (2)1,3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.,【即时应用】 (1)数列 的前n项和为_. (2)已知数列an的通项公式是 ,若Sn=10,则 n=_.,【解析】(1),由Sn=10,即 -1=10得n=120. 答案:(1) (2)
4、120,4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的.,【即时应用】 (1)已知数列an的前n项和为Sn,且an=n2n,则Sn=_. (2)已知 ,则Sn=_. 【解析】(1)Sn=12+222+323+n2n, 2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1, -Sn=2+22+23+2n-n2n+1 = -n2n+1=2n+1-n2n+1-2, Sn=(n-1)2n+1+2.,答案:(1)(n-1)2n+1+2 (2),热点考向 1 分组转化求和 【方法点睛】 1.分组转
5、化求和的通法 数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和,2.常见类型及方法 (1)an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解; (2)an=aqn-1,利用等比数列前n项和公式直接求解; (3)an=bncn,数列bn,cn是等比数列或等差数列,采用 分组求和法求an的前n项和,【例1】(1)已知数列: , 则其前n项和Sn=_. (2)已知 求数列an的前10项和S10; 求数列an的前2k项和S2k.,【解题指南】(1)先求数列的通项公式,再根据通项公式分组 求和. (2)把奇数项和偶数项分开求和.,【规范
6、解答】(1) 答案:,(2)S10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25) 由题意知,数列an的前2k项中,k个奇数项组成首项为6,公差 为10的等差数列,k个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列. S2k=6+16+(10k-4)+(2+22+2k) =5k2+k+2k+1-2.,【互动探究】若本例(1)中数列改为:3,33,333,试求其前n项 和Sn. 【解析】数列3,33,333,的通项公式an= (10n-1),【反思感悟】解答本例(2)时应注意,其奇数项组成的等差数列和偶数项组成的等比数列的通项公式并不是题目中所给的解析式,可写出前n项寻找规律或将n=2k
7、-1,n=2k代入求解.,【变式备选】求和: 【解析】(1)当x=1时,Sn=4n.,(2)当x1时,,热点考向 2 裂项相消法求和 【方法点睛】 1.应用裂项相消法应注意的问题 使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.,2.常见的拆项公式,【例2】解答下列各题: (1)(2013福州模拟)已知数列an的前n项和Sn= 求数列an的通项公式. 令bn= 求数列bn的前2 011项和T2 011. (2)已知数列4n-2n(nN*)的前n项和为Sn,bn= 求数列bn 的前n
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