2022年圆锥曲线方程单元知识总结 .pdf
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1、学习必备欢迎下载圆锥曲线方程单元知识总结【知识结构】【命题趋势分析】从近三年高考情况看,圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容,三年平均占分20 分,约为全卷分值的13.3%,在题型上一般安排选择、填空、解答各一道,分别考查三种不同的曲线,而直线与圆锥曲线的位置关系又是考查的重要方面。例 1(20XX 年江苏卷理科第13 题)椭圆5522kyx的一个焦点是(0,2) ,则k_ 。分析本题主要考查椭圆的标准方程,先将其化为标准形式,然后求解。解椭圆方程即11522xkyka5212b, 由21522kbac解得 k=1。点评由焦点在y 轴上, 其标准方程应化为12222bxay的形式,
2、若此题变化为:已知曲线5522kyx的焦距为4,则 k_ 。则应分两种情况讨论: (1)若为椭圆, 则 k=1; (2)若为双曲线, 方程即为15122kyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页学习必备欢迎下载12a,由kb52,由25122kbac,得35k。例 2(20XX 年全国卷理科第14 题)双曲线116922yx的两个焦点为21FF,点 P在双曲线上, 若21PFPF, 则点 P 到 x 轴的距离为 _ 。分析本题主要考查双曲线的定义,从“形”的角度看, 只需求出21FPFRt斜边21FF上的高,可用第一
3、定义求解;从“数”的角度看,只需求出点P 的纵坐标0y,先利用第二定义即焦半径公式表示出|1PF,|2PF,由勾股定理求出0 x,再代入双曲线方程即可求出0y的值;由于点P在以21FF为直径的圆上,因此,解决本题一个最基本的方法,则是利用交迹法求出点P。解法一设nPFmPF|21,且由双曲线的对称性不妨设点P 在第一象限, 则mn=2a6 ,1004222cnm,2得 2mn=64, mn=32,作 PQ x 轴于 Q,则在21FPFRt中,5161032|21FFmnPQ,即点 P到 x 轴的距离为516,解法二设)00)(0000yxyxP,由第二定义可得aexcaxePF0201|,ae
4、xcaxePF0202|,21PFPF,220204)()(caexaex,即222022acxe,这里 a=3 c=5 35e,代入得41530 x。由双曲线方程得2525619162020 xy,5160y。解法三设)00)(0000yxyxP,21PFPF点 P 在以21FF为直径的圆上,即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页学习必备欢迎下载252020yx,又点 P 在双曲线上,1449162020yx,由,消去20 x,得2525620y,5160y。点评(1)由双曲线的对称性,可将点 P 设定在第一象限内
5、,而不必考虑所有的情况。(2)解题的目标意识很重要,例如在解法一中只需整体求出mn 的值,而不必将m,n解出;在解法三中只需求0y即可;(3)在三种解法中,以解法三最简洁,因此,最基本的方法有时也是最有效的方法。( 4)如果将问题改为:当21PFF为钝角时,点P的横坐标的取值范围是_ 。那么, 可先求出使21PFPF时的点 P 的横坐标为41530 x,由图形直观及双曲线的范围可得,2000 年高考理科第14 题考查了椭圆中与此类似的问题。例 3(2000 年全国卷理科第11 题)过抛物线)0(2aaxy的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段PF 与 FQ 的长分别是p、q,则q
6、p11等于()A2a Ba21C4a Da4分析此题主要考查抛物线的定义与标准方程,可利用焦半径公式来解决。解抛物线方程即yax12,记ma41,则 F (0,m) ,而直线 PQ 的方程可设为x=k(ym) ,代入抛物线方程myx42得0)2(222222mkmykyk,设)()(2211yxQyxP,则2212221,)2(2myymkkyy而myqmyp21,于是,mkkmmkkmyyqp222221)1(42)2(22,2222212121)1(4)()(mkkmyymyymymypq。故,ampqqpqp4111。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
7、 - - - - -第 3 页,共 10 页学习必备欢迎下载当 k=0 时,易证结论也成立,因而选C。点评(1)由于所给抛物线的焦点在y 轴上,故其焦点是)410(a,焦半径公式是ayPF41|1,而不能写成axPF41|1。 (2)解题中, 令ma41以及将直线PQ 的方程设为x=k(ym) ,都是为了简化运算。 (3)作为一道选择题,如此解法显然是不经济的,可以利用上节例5 中的结论3 直接得出结果,因此,记住一些重要结论,对提高解题效率无疑是有益的。 (4)特例法也是解选择题的常用的解题方法,本题只需考虑PQ/x 轴,即为通径的情况,可立即得出结果。例 4(20XX 年全国卷理科第19
8、题)设抛物线)0(22ppxy的焦点 F,经过点F的直线交抛物线于A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且BC/x 轴,证明直线AC 经过坐标原点 O。分析本小题主要考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力,证明三点共线,只须证明OC、 OA 两直线的斜率相等,也可利用抛物线的性质证明 AC 与 x 轴的交点N 恰为 EF 的中点,从而N 与 O 重合,证得结论。解法一易知焦点)02(,pF,设直线AB 的方程是2pmyx,代入抛物线方程得0222pp m yy设)()(2211yxByxA,则221pyy,即122ypy。因 BC/x 轴,且 C 在准线 1 上,故
9、点)2(2ypC,且1212pxy,从而pyx2211,从而1122222ypypppykOC,12111122yppyyxykOA,于是,OAOCkk,从而 A、O、C 三点共线,即直线AC 经过原点O。解法二如图,设准线 1交 x 轴于点 E, AD 1于 D, 连 AC 交 EF 于点 N, 由 AD/EF/BC ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页学习必备欢迎下载得|ABBFACCNADEN,即|ABBFADEN,|ABAFBCNF,即|ABBCAFNF,又由抛物线的性质可知,|AD|=|AF| , |BC
10、|=|BF|,代入可得|EN|=|NF|,即 N 为 EF的中点,于是N 与点 O 重合,即直线AC 经过原点O。点评(1)本例解法一利用曲线的方程研究曲线的性质,充分体现了用坐标法研究几何问题的基本思想,而解法二则充分利用了抛物线的几何性质及相似三角形中的有关知识。( 2)在解法一中,直线AB 方程的设法值得推崇,从思路分析看,若证OCOCkk,即证1122xypy,将pyx221代入后即证1222yppy,即证221pyy,为此应通过直线AB的方程及抛物线方程pxy22联立消去x 得到关于y 的一元二次方程,解法一中的这一设法,既回避了直线方程的变形过程使运算简单,同时也回避了当AB x
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