电磁场实验报告孙颖哲.docx
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1、基于有限差分法的二维边值问题的数值分析班级:1402502学号:140250218姓名:舒 荣一、实验目的1.掌握简单二维边值问题的分离变量求解方法;2.通过有限差分法的实现来熟悉数值法的求解过程。二、预习内容1. 预习如下边值问题(课本149页例3.6.1)的分离变量求解过程;具体参数为:盖板电位U=100 V,其余三面电位=0 V,尺寸a=10 m,b=10 m。2. 预习课本161页“3.7 有限差分法”的内容。三、实验内容及步骤1. 在matlab中分析基于分离变量法的解析解;2. 利用简单迭代法求解,与解析法结论对比,分析求解结果的精确度。分析过程至少包括:在网格尺寸为0.1 m和1
2、 m两种条件下,两次迭代差值最大为10-10时的分析结论; 3. 利用超松弛迭代法分析,选择松弛因子,分析其对收敛速度(即迭代次数)的影响,并确定最优值。分析过程至少包括:在网格尺寸为0.1和1两种条件下,两次迭代差值最大为10-10时,迭代次数随松弛因子的变化,得到对应的最优松弛因子,与经验值(课本165页式子3.7.15)进行对比。四、实验过程1、解析解根据直角坐标系中的分离变量法求得解析解:本题中,a=10,b=10。带入Matlab中画图计算得到解析解的图像和各点的数值作为基准:三维图像解析x方向的电势解析y方向的电势2、简单迭代法计算公式:式中:i,j=0,1,2,k=0,1,2,并
3、按比例设置节点上的初始迭代值,分析在在网格尺寸为0.1 m和1 m两种条件下,两次迭代差值最大为时的各点电势大小,并画出三维图像。(1) 网格尺寸为1时:三维图像解析x方向的电势解析y方向的电势(2) 网格尺寸为0.1时:三维图像解析x方向的电势解析y方向的电势分析:当网格精度提高后,图像更为连贯,更能体现出空间中电势的趋势,同时对比解析法算得的图像,发现和简单迭代法的图像基本一致,说明实验结果正确,同时我们也能明显发现精度更高时运算时间更长,迭代速度更慢,为了优化迭代次数,我们引进了超松弛算法。3、超松弛迭代法设置松弛因子,改写算法:在计算电势时,把左边节点和下边界点的电势用刚得到的新值带入
4、。并在网格尺寸为0.1和1两种条件下,两次迭代差值最大为10-10时,分析迭代次数随松弛因子的变化。为计算迭代次数,在循环中加入一个计数变量count,观察在不同松弛因子下的count的数值变化。(1) 网格尺寸为1时先计算出简单迭代时的迭代次数为474,然后,取为1.1,运行程序,得到迭代次数count=200,之后以0.1为间隔增大,一直增大到1.9,count数依次为,162,128,97,65,60,81,125,261,发现count在1.5-1.7之间取得最小值,与课本上公式对比,=,p为网格数,在网格尺寸为1时,网格数为11,带入计算得到最快迭代速度的为1.52,带入程序,得到迭
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