小学奥数几何五大模型相似模型.doc
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1、任意四边形、梯形与相似模型模型四 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ;。所谓相似三角形,就是形状一样,大小不同三角形(只要其形状不改变,不管大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关常用性质及定理如下:相似三角形一切对应线段长度成比例,并且这个比例等于它们相似比;相似三角形面积比等于它们相似比平方;连接三角形两边中点线段叫做三角形中位线。三角形中位线定理:三角形中位线长等于它所对应底边长一半。相似三角形模型,给我们提供了三角形之间边与面积关系相互转化工具。在小学奥数里,出现最多情况是因为两条平行线而出现相似三角形。【例 1】 如图,在平行四边形中,那么长度是多少?【解析】 图中
2、有一个沙漏,也有金字塔,但我们用沙漏就能解决问题,因为平行于,所以,所以【例 2】 如图,测量小玻璃管口径量具,长为厘米,被分为等份。如果小玻璃管口正好对着量具上等份处(平行),那么小玻璃管口径是多大? 【解析】 有一个金字塔模型,所以,所以厘米。【例 3】 如图,平行,假设,那么_。【解析】 根据金字塔模型,设份,那么份,份,所以。【例 4】 如图, 中,互相平行,那么 。【解析】 设份,根据面积比等于相似比平方,所以,因此份,份,进而有份,份,所以【稳固】如图,平行,且,求长。【解析】 由金字塔模型得,所以【稳固】如图, 中,互相平行,那么 。【解析】 设份,因此份,进而有份,同理有份,份
3、,份所以有【总结】继续拓展,我们得到一个规律:平行线等分线段后,所分出来图形面积成等差数列。【例 5】 中,平行,假设,且比大,求。【解析】 根据金字塔模型,设份,那么份,份,比大份,恰好是,所以【例 6】 如图:平行, ,求长度【解析】 在沙漏模型中,因为,所以,在金字塔模型中有:,因为,所以【稳固】如图,平行,那么_。【解析】 由沙漏模型得,再由金字塔模型得【例 7】 如图,中,与平行,面积是1平方厘米。那么面积是 平方厘米。【解析】 因为,与平行,根据相似模型可知,平方厘米,那么平方厘米,又因为,所以(平方厘米)【例 8】 在图中正方形中,分别是所在边中点,面积是面积几倍? 【解析】 连
4、接,易知,根据相似三角形性质,可知,且,所以面积等于面积;由可得,所以,即面积是面积3倍。【例 9】 如图,线段与垂直,那么图中阴影局部面积是多少? 【解析】 解法一:这个图是个对称图形,且各边长度已经给出,不妨连接这个图形对称轴看看作辅助线,那么图形关于对称,有,且 设面积为2份,那么面积为3份,直角三角形面积为8份因为,而阴影局部面积为4份,所以阴影局部面积为解法二:连接、由于,所以,根据相似三角形性质,可知,根据梯形蝴蝶定理,所以,即;又,所以【例 10】 (年第二届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛)如图,四边形和都是平行四边形,四边形面积是,那么四边形面积_【解析】 因为为平行四边
5、形,所以,所以为平行四边形,那么,所以又,所以,根据沙漏模型,所以【例 11】 三角形面积为,是中点,且,交于,求阴影局部面积 【解析】 ,且,利用相似三角形性质可知,所以,且又因为是中点,所以是三角形中位线,那么,所以,可得,所以,那么【例 12】 正方形,过直线分别交、延长线于点、,且,求正方形边长【解析】 方法一:此题有两个金字塔模型,根据这两个模型有,设正方形边长为,所以有,即,解得,所以正方形边长为方法二:或根据一个金字塔列方程即,解得【例 13】 如图,三角形是一块锐角三角形余料,边毫米,高毫米,要把它加工成正方形零件,使正方形一边在上,其余两个顶点分别在、上,这个正方形零件边长是
6、多少? 【解析】 观察图中有金字塔模型个,用与边有关系两个金字塔模型,所以有,设正方形边长为毫米,即,解得,即正方形边长为毫米【稳固】如图,在中,有长方形,、在上,、分别在、上,是 边高,交于,厘米,厘米,求长方形长和宽【解析】 观察图中有金字塔模型个,用与边有关系两个金字塔模型,所以,所以有,设,那么,所以有,解得,因此长方形长和宽分别是厘米,厘米【例 14】 图中是边长为正方形,从到正方形顶点、连成一个三角形,这个三角形在上截得长度为,那么三角形面积是多少? 【解析】 根据题中条件,可以直接判断出与平行,从而三角形与三角形相似,这样,就可以采用相似三角形性质来解决问题做垂直于,交于因为,所
7、以三角形与三角形相似,且相似比为,所以,又因为,所以,所以三角形面积为【例 15】 如图,将一个边长为正方形两边长分别延长和,割出图中阴影局部,求阴影局部面积是多少?【解析】 根据相似三角形对应边成比例有:;,那么, 【例 16】 (2021年101中学考题)图中大小正方形边长均为整数(厘米),它们面积之和等于52平方厘米,那么阴影局部面积是 【解析】 设大、小正方形边长分别为厘米、厘米(),那么,所以假设,那么,不合题意,所以只能为6或7检验可知只有、满足题意,所以大、小正方形边长分别为6厘米和4厘米根据相似三角形性质,而,得(厘米),所以阴影局部面积为:(平方厘米)【例 17】 如图,是矩
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