函数的中值定理.ppt
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1、现在学习的是第1页,共14页一、罗尔(Rolle)定理罗尔罗尔(R Rolleolle)定理)定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等,即值相等,即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零,在该点的导数等于零, 即即0)( f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上可导上可导在在 , 0)3()1( ff且且)3 ,
2、 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf现在学习的是第2页,共14页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停物理解释物理解释: :变速直线运动在折变速直线运动在折返点处返点处,瞬时速度等瞬时速度等于零于零.几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC现在学习的是第3页,共14页证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),
3、()(bfaf .取得取得最值不可能同时在端点最值不可能同时在端点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内内至至少少存存在在一一点点则则在在),()( fxf, 0)()( fxf现在学习的是第4页,共14页, 0 x若若; 0)()( xfxf则则有有, 0 x若若; 0)()( xfxf则则有有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存在存在 f).()( ff. 0)( f只只有有现在学习的是第5页,共14页注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可其结论可能不成立能不成立.例如例如,;2
4、, 2, xxy,)0(2 , 2的的一一切切条条件件满满足足罗罗尔尔定定理理不不存存在在外外上上除除在在f . 0)(2-2 xf使使内内找找不不到到一一点点能能,但但在在区区间间;0, 01 , 0(,1 xxxy.1 , 0, xxy又例如又例如,现在学习的是第6页,共14页例例1 1.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1 ,
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