早七同步拓展讲义四:部分分式分解.pdf
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1、早七同步拓展讲义四:部分分式分解 【知【知 1 1】 部分分式分解:是将有理函数分解成许多次数较低的有理函数的和的形式,来降低分子或分母多 项式的次数。分解后的分式需满足以下条件:分式的分母需为不可约多项式或其乘幂。分式的分子多项式 次数需比其分母多项式次数要低。 注:在本节我们大量使用求和求积符号,需对其形式更多加以熟悉。 在日后的学习中,我们尽量避免省略号的使用;部分分式分解的计算量较大,希望同学们进一步锻炼计算 的准确率. 【知【知 2 2】 部分分式分解有几种方法,其一是待定系数法。我们不加证明的给出如下定理: )( )( xQ xP 为一有理分式,其中 m j jj n i i j
2、i qxpxaxxQ 1 2 1 .)()()( (这里源自代数基本定理,在实系数多 项式环上作分解) ,且,QPdegdeg那么可作部分分式分解,其结果为: n ij m ij j ii ijij j i ij im qxpx CxB ax A xQ xP 1111 2 . )()()( )( 因此可将右侧通分与原式比较并解出所有待定的系数。 【例【例 1 1】 用待定系数法进行部分分式分解:. )22()2( 1 22 3 xxx xx 【知【知 3 3】 二、换元法,利用合理换元,可以简便计算,通常适用于分母为单个式子的幂次。 【例【例 1 1】. ) 1( 3 2 x x 【例【例 2
3、 2】 求 22 2 ) 1( xx xx 的最大值,并求出此时的 x. 【知【知 4 4】 三、赋值法:赋值法可以求得所有的., , iii iii CBA 其中. )( )( )(, )( )( , i i i i ax i ax xQ xQ xQ xP A 这里竖线代表对竖线左侧的代数式代入竖线右下方给定的参数要求。 . )( )( )( , )( )( 2 , i i ii ii x iii qxpx xQ xQ xQ xP CB 其中 i 为0 2 ii qxpx的根(是复数根) 。 如果剩下的待定系数仅有一个,可以另代一个 x 来确定其值. 【知【知 5 5】 若要避免复数根的代入
4、,对于一类特殊的形式,我们也有方法处理。当)( xQ形如 n i i i ax 1 )( 时, 要代入为0 2 ii qxpx的根,我们可以令 n j jjii n j ji n j jjii n j ji j j j j aapq apxxP aapxpx apxxP xQ xP 1 1 1 2 1 )( )()( )( )()( )( )( 然后对分子进行降次即可.此外,具体问题可以具体分析,采用更简洁的降次。 举例而言,对 ) 1()3( 1 22 xxx x 进行部分分式分解。 令. 49 213 49 385 49 )53)(1( )6( )2)(1( )3( 1 , 01 2 22
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- 同步 拓展 讲义 部分 分式 分解
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