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2、大学北京航空航天大学教学目标教学目标 引起对数学的兴趣引起对数学的兴趣 or 减少减少对数学的仇恨对数学的仇恨 对数学思想有所了解对数学思想有所了解 强调强调 idea,不求,不求 technique = 数学文化数学文化= 九阴真经上篇九阴真经上篇 北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29 数学大观推介词数学大观推介词 踢足球的人是少数踢足球的人是少数,欣赏足球的人却很多欣赏足球的人却很多. 本课程不是教少数人本课程不是教少数人“踢数学踢数学”,而是帮助多,而是帮助多数人欣赏数学数人欣赏数学 本课程不是用空洞的说教强迫本课程不是用空洞的说教强迫“我们爱数学我们爱数学”,而是用生动的
3、故事展示而是用生动的故事展示“数学爱我们数学爱我们”北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29 数学的故事数学的故事,远在天边远在天边,近在眼前近在眼前. 峨嵋山的佛峨嵋山的佛光宣讲连续函数光宣讲连续函数,哈尔滨的面条吃进一维空间哈尔滨的面条吃进一维空间. 康定情歌高唱等比数列康定情歌高唱等比数列, 宾馆台灯照出圆锥曲宾馆台灯照出圆锥曲线线. 张三丰教太极剑,抽象指挥具体张三丰教太极剑,抽象指挥具体. 独孤求败写独孤求败写教材,简单才是正宗教材,简单才是正宗.北京航空航天大学北京航空航天大学此则岳阳楼之大观也此则岳阳楼之大观也北京航空航天大学北京航空航天大学教学方法教学方法 样板样板1
4、 1. .张三丰教张无忌张三丰教张无忌 通过有招学无招通过有招学无招= =案例教学法案例教学法 样板样板2 2 . .线性代数线性代数内容简介内容简介 本书不是本书不是“奉天承运皇帝诏曰奉天承运皇帝诏曰”从天而降的抽象定义和推理从天而降的抽象定义和推理 而是一部由创造发明的系列故事而是一部由创造发明的系列故事组成的连续剧组成的连续剧北京航空航天大学北京航空航天大学考试改革考试改革 实话实说本课程收获体会实话实说本课程收获体会 不及格作业不及格作业: 1 . 网上下载自己不懂的东网上下载自己不懂的东西西 2. 考试成败的故事考试成败的故事 3. 待定待定(受同学们的启发受同学们的启发)北京航空航
5、天大学北京航空航天大学数学爱我们数学爱我们 我们需要数学我们需要数学威力威力 我们欣赏数学我们欣赏数学魅力魅力 从数学中享受快乐从数学中享受快乐 数学值得爱数学值得爱? ? 数学爱我们数学爱我们? ?北京航空航天大学北京航空航天大学从幻方开始从幻方开始北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学三阶幻方一变多三阶幻方一变多 旋转旋转 共有多少个?共有多少个?24=8 正方形的对称群正方形的对称群:轨道公式轨道公式. 正方体的旋转群正方体的旋转群.轴对称轴对称北京航空航天大学北京航空航天大学思路从何来思路从何来?北京航空航天大学北京航空航天大学
6、北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学算算 24 例例1.1. 将每组四个数经过加将每组四个数经过加 减乘除得到减乘除得到24. (1)5,5,5,1;(2)3,3,7,7; (3)4,4,7,7;(4)3,3,8,8.北京航空航天大学北京航空航天大学 55-1=24 5(5-1/5)=24 运算律的应用运算律的应用! (38)/(33-8)= 24 分子分母同除以分子分母同除以 3 8/(3-8/3)=24 北京航空航天大学北京航空航天大学算术应用题算术应用题例例2. 100人吃人吃100个馒头个馒头大人每人吃大人每人吃3个个,小孩每
7、小孩每3人吃人吃1个个大人小孩各多少人大人小孩各多少人? ? 代数解法代数解法: : 列方程组列方程组 解方程组解方程组 混淆已知未知混淆已知未知, ,运算律相同运算律相同. .北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29抽象抽象= =由聪明而糊涂由聪明而糊涂 阮次山修改版:阮次山修改版: 许多看起来不相同的事情,都是许多看起来不相同的事情,都是一回事一回事. . 抽象抽象= =难得糊涂难得糊涂= =由聪明而糊涂由聪明而糊涂 不同事物不同事物共同规律共同规律广泛应用广泛应用 通过有招学无招通过有招学无招无招胜有招无招胜有招北京航空航天大学北京航空航天大学百变保不变百变保不变 例例2 2(
8、百人百馒头)算术解(百人百馒头)算术解 idea: 不求不求100, 先求相等先求相等. 每桌每桌: 1大人大人3小孩小孩=4 人人 3+1=4馒头馒头 100 人多少桌人多少桌? 1004=25 1大人大人3小孩小孩 25 25大人大人75小孩小孩 保保不变不变 求求百变百变 = 爱尔兰根纲领(克莱茵)爱尔兰根纲领(克莱茵)北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29 独孤求败基本定理独孤求败基本定理 独孤求败基本定理:独孤求败基本定理: 高水平高水平= =简单简单 凌波微步:凌波微步: 繁琐繁琐简单简单,困难困难容易容易. . 不是不是雕虫小技,雕虫小技,是看家本领是看家本领. .
9、数学的威力和魅力!数学的威力和魅力!北京航空航天大学北京航空航天大学视频公开课视频公开课: 基础科学基础科学李尚志博客李尚志博客: 数学聊斋数学聊斋, ,数学诗选数学诗选 比梦更美好比梦更美好, ,名师培养了我名师培养了我视频视频:(:(搜索搜索) )数学的草根本色数学的草根本色网络资源北京航空航天大学北京航空航天大学第三讲第三讲音乐美术音乐美术中的数学中的数学北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29乐音的频率乐音的频率声音越高,频率越高。声音越高,频率越高。1,2,3,4,5,6,7,i 频率各是多少?频率各是多少?高高8度度i是是1的的2倍倍.其余的音是几倍?其余的音是几倍?频率
10、等比上升频率等比上升.每半音升高每半音升高 21/12 十二平均律十二平均律北京航空航天大学北京航空航天大学怎样模拟不同乐器的声音怎样模拟不同乐器的声音 不同乐器声音区别不同乐器声音区别 音色音色 正弦波正弦波 y = Asinkt k 音调音调 A 响度响度 ?音色音色北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29-6-4-2246-0.75-0.5-0.250.250.50.75-6-4-2246-0.75-0.5-0.250.250.50.75正弦波的叠加正弦波的叠加北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29 y = a1sin(w wt+b1)+a2sin(2w wt+b2
11、)+ 系数系数 a1 , a2 , . 不同比例不同比例 不同波形不同波形不同音色不同音色 厨师配菜厨师配菜: 调料不同比例调料不同比例不同味道不同味道 a1油油+a2盐盐+a3酱酱+a4醋醋+傅里叶级数傅里叶级数北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29音阶的前世今生音阶的前世今生 基音和泛音频率基音和泛音频率 f, 2f, 3f, 4f,. f:1(do), 2f: i(do), 3f ? 3f 降降8度度 = (3/2)f =5(sol). 五度相生五度相生: 15(二胡两弦二胡两弦) 1526(小提琴四弦小提琴四弦) 产生多少个不同频率产生多少个不同频率 1 3n/2m 2北京
12、航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29五度相生五度相生 1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64, 243/128 1, 1.5, 1.125, 1.6875, 1.2656, 1.89842 简谱简谱: 1, 5, 2, 6, 3, (7i) 五音五音:1,2,3,5,6 =宫宫, ,商商, ,角角, ,徴徴, ,羽羽 例例: 商商音更流涕音更流涕, ,羽羽奏壮士惊奏壮士惊. . ( (荆軻刺秦王荆軻刺秦王) )北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29十二声音阶十二声音阶 寻找寻找 3n 2m log2 (3n)=nlog23整数整数. nlog23 (n=1,2
13、,12): 1.58496, 3.16993, 4.75489, 6.33985, 7.92481 9.50978, 11.0947, 12.6797 , 14.2647, 15.8496 17.4346, 19.0196 35/28 0.949, 37/211 1.068, 312/219 1.0136 五声五声: 1,5,2,6,3. 七声七声: 4,1,5,2,6,3,7. 十二声十二声. . 1,5,2,6,3,7,4,1,5,2,6,4北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29 12个频率个频率 3n/2m (n=0,1,2,.,11)从小到大排列从小到大排列: 1, 37/
14、211, 32/23, 39/214, 34/26, 311/217, 36/29, 3/2, 38/212, 33/24, 310/215, 35/27, 312/218 2 (37/211)2/(32/23)=312/2191. 近似成等比数列近似成等比数列. 调整方案调整方案1. 精确等比数列精确等比数列: 十二平均律十二平均律. 调整方案调整方案2. 和谐优先和谐优先: 分母尽可能小分母尽可能小. 1, 3/2, 9/8, 27/16=1.68751.6666.=5/3. fa:2/3, do:1, sol:3/2, re:9/8,la:5/3, mi:5/4,si:15/8频率的调整
15、频率的调整北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29 最佳最佳= =误差小误差小( (物美物美),),分母小分母小( (价价廉廉). 例例1. 27/16=1+11/16=1+x1, 1/x1=1+5/11=1+x2, 1/x2=2+1/52. x21/2, x12/3. 27/161+2/3=5/3. 例例2. p p =3.14159. 1/x1=7.062513, 1/x216. p p 3+1/7=22/7. p p 3+1/(7+1/16)=355/113. 最佳分数近似值最佳分数近似值北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29美术中的数学模型美术中的数学模型 平行平
16、行相交相交 北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29美术中的数学模型美术中的数学模型 平行平行相交相交 北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29应用例北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29 圆圆 圆锥曲线圆锥曲线北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29 x = x / (1-x), y= y / (1-x). 直线、相交、平行直线、相交、平行 ? 相交于相交于x=1的直线的直线 ? 圆圆(与与x=1相离、切、交相离、切、交) ?射影变换射影变换北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29 相交直线变平行直线相交直线变平行直线北京航空航天大学北京航
17、空航天大学2022-8-29 圆变圆锥曲线圆变圆锥曲线北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29 射影几何的变与不变射影几何的变与不变 变:中心投影变:中心投影 不变:直线不变:直线 相交相交平行平行( (交点交点无穷远点无穷远点) ) 圆圆圆锥曲线圆锥曲线射影几何射影几何北京航空航天大学北京航空航天大学第四讲第四讲乐水乐山乐水乐山乐数学乐数学北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29峨眉山的佛光峨眉山的佛光峨眉山舍身崖峨眉山舍身崖北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29峨眉山的佛光峨眉山的佛光北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29千手观音有多少只手千手观
18、音有多少只手北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29一一对应一一对应 手手金箔金箔竹签竹签 1,2,1007 整数与偶数同样多:整数与偶数同样多:n2n Q=有理数有理数a/b可列可列: 按按 |a|+|b|从小到大排序从小到大排序北京航空航天大学北京航空航天大学2022-8-29有理数占实数多大比例有理数占实数多大比例 有理点有理点 a1,an,总长度总长度E=? 依次用长度依次用长度 e/2,e/4,e/2n, 的区间覆盖的区间覆盖 Ee/2+e/4+ 10%北京航空航天大学北京航空航天大学 例例2. .中奖率中奖率1/1000,2000张不中奖张不中奖 p=(1- -1/100
19、0)2000 =13.5% 例例3. 中奖率中奖率10000,20000张不中奖张不中奖 p=(1- -1/10000)20000 =13.5% 推广推广: 当当 n (1- -1/n)2n e- -2 2.718 - -2 0.135北京航空航天大学北京航空航天大学行李箱密码行李箱密码 行李箱密码搞乱了怎么办行李箱密码搞乱了怎么办 3位密码,穷举需位密码,穷举需1000次。次。不是故意搞乱,不会太乱。不是故意搞乱,不会太乱。只改一位,只改一位,30次。次。只改一位只改一位,只改一格只改一格,6次。次。 与原码与原码“距离距离”越小越小,概率越大概率越大。北京航空航天大学北京航空航天大学咏数学
20、建模咏数学建模数学精微何处寻数学精微何处寻, ,纷纭世界有模型纷纭世界有模型. .描摹万象得神韵描摹万象得神韵, ,识破玄机算古今识破玄机算古今. . 岂是空文无实效岂是空文无实效, ,能生妙策济苍生能生妙策济苍生. .经天纬地展身手经天纬地展身手, ,七十二行任纵横七十二行任纵横. .北京航空航天大学北京航空航天大学数学模型的检验数学模型的检验 案例案例1. 1. 被动吸烟人数被动吸烟人数 “我国吸烟人数为我国吸烟人数为3.5亿。根据研究亿。根据研究推算,目前我国人群中遭受被动吸推算,目前我国人群中遭受被动吸烟危害的人数可高达烟危害的人数可高达5.4亿,其中亿,其中15岁以下儿童有岁以下儿童
21、有1.8亿。亿。”北京航空航天大学北京航空航天大学案例案例2.2.三个和尚三个和尚一个和尚挑呀么挑水喝一个和尚挑呀么挑水喝, ,两个和尚抬呀么抬水喝两个和尚抬呀么抬水喝三个和尚没水喝没呀没水喝三个和尚没水喝没呀没水喝, ,你说这是为什么你说这是为什么为什么呀和尚越来越多为什么呀和尚越来越多. .为什么呀和尚越来越懒惰为什么呀和尚越来越懒惰为什么呀长老呀不来说一说呀为什么呀长老呀不来说一说呀. .睁着眼闭着眼阿弥陀佛睁着眼闭着眼阿弥陀佛大和尚说挑水我挑的最多大和尚说挑水我挑的最多. .二和尚说新来的应该多干活二和尚说新来的应该多干活小和尚说年龄幼身体太单薄小和尚说年龄幼身体太单薄. .白胡子的长老说我年老不口渴白胡子的长老说我年老不口渴北京航空航天大学北京航空航天大学三个和尚三个和尚( (续续) )从此以后呀和尚都不抬水喝从此以后呀和尚都不抬水喝不挑水的日子还是一样过不挑水的日子还是一样过谁也不用奇怪也别问为什么呀谁也不用奇怪也别问为什么呀几千年的奥妙谁也不会说破几千年的奥妙谁也不会说破谁也不会说破谁也不会说破北京航空航天大学北京航空航天大学
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