多元函数的极值及其求法(7页).doc
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1、-多元函数的极值及其求法-第 7 页第十一讲 二元函数的极值要求:理解多元函数极值的概念,会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值。问题提出:在实际问题中,往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题,与一元函数相类似,多元函数的最大值,最小值与极大值,极小值有密切的关系,因此以二元函数为例,来讨论多元函数的极值问题一二元函数的极值定义 设函数在点的某个邻域内有定义,对于该邻域内的所有,如果总有,则称函数在点处有极大值;如果总有,则称函数在点有极小值函数的极大值,极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点例1函数在点处不取得极值,因为在点处的函数值为零,而在点的任一邻域内总有
2、使函数值为正的点,也有使函数值为负的点 例2函数在点处有极小值 因为对任何有从几何上看,点是开口朝上的椭圆抛物面的顶点,曲面在点处有切平面,从而得到函数取得极值的必要条件定理1(必要条件)设函数在点具有偏导数,且在点处有极值,则它在该点的偏导数必然为零,即,几何解释若函数在点取得极值,那么函数所表示的曲面在点处的切平面方程为是平行于坐标面的平面类似地有三元及三元以上函数的极值概念,对三元函数也有取得极值的必要条件为说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题,但它明确指出找极值点的途径,即只要解方程组 ,求得解,那么极值点必包含在其中,这些点称为函数的驻点注意1驻点不一定是极值点,如在点怎样判
3、别驻点是否是极值点呢?下面定理回答了这个问题定理2(充分条件) 设函数在点的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续偏导数,又令 ,则(1)当时,函数在点取得极值,且当时,有极大值,当时,有极小值;(2)当时,函数在点没有极值;(3)当时,函数在点可能有极值,也可能没有极值,还要另作讨论求函数极值的步骤:(1)解方程组,求得一切实数解,即可求得一切驻点(2)对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值;(3)确定的符号,按定理2的结论判定是否是极值,是极大值还是极小值;(4)考察函数是否有导数不存在的点,若有加以判别是否为极值点例3考察是否有极值解 因为,在处导数不存在,但是对所有的,均有,所以函数在点取得极大
4、值注意2极值点也不一定是驻点,若对可导函数而言,怎样? 例4求函数的极值解 先解方程组,求得驻点为,再求出二阶偏导函数,在点处,又,所以函数在点处有极小值为;在点处,所以不是极值;在点处,所以不是极值;在点处,又,所以函数在点处有极大值为二函数的最大值与最小值求最值方法: 将函数在区域内的全部极值点求出; 求出在边界上的最值;即分别求一元函数,的最值; 将这些点的函数值求出,并且互相比较,定出函数的最值实际问题求最值根据问题的性质,知道函数的最值一定在区域的内部取得,而函数在内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最值 例4求把一个正数分成三个正数之和,并使它们的乘积为最大解
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