函数矩阵与矩阵微分方程 (2).ppt
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1、第一章第一章 第一节第一节 函数函数关于函数矩阵与矩阵微分方程 (2)现在学习的是第1页,共45页称为函数矩阵,其中所有的元素称为函数矩阵,其中所有的元素都是定义在闭区间都是定义在闭区间 上的实函数。上的实函数。函数矩阵与数字矩阵一样也有加法,数乘,函数矩阵与数字矩阵一样也有加法,数乘,乘法,转置等几种运算,并且运算法则完全乘法,转置等几种运算,并且运算法则完全相同。相同。例:例:已知已知( ),1,2,;1,2,ijaxim jn , a b现在学习的是第2页,共45页1sin1cos,11xxxxxxABexex计算计算定义:定义:设设 为一个为一个 阶函数矩阵,如果存在阶函数矩阵,如果存
2、在 阶函数矩阵阶函数矩阵 使得对于任何使得对于任何 都有都有那么我们称那么我们称 在区间在区间 是是可逆的可逆的。,2 ()TxAB AB AABn( )B x , xa bn( ) ( )( ) ( )A x B xB x A xI( )A x , a b( )A x现在学习的是第3页,共45页称称 是是 的逆矩阵,一般记为的逆矩阵,一般记为例例 :已知已知那么那么 在区间在区间 上是可逆的,其逆为上是可逆的,其逆为( )B x( )A x1( )Ax11( )0 xxA xe ( )A x1( )10 xxxxeAxe3,5现在学习的是第4页,共45页函数矩阵可逆的充分必要条件函数矩阵可逆
3、的充分必要条件定理定理 : 阶矩阵阶矩阵 在区间在区间 上可逆的充上可逆的充分必要条件是分必要条件是 在在 上处处不为零,并上处处不为零,并且且其中其中 为矩阵为矩阵 的伴随矩阵。的伴随矩阵。定义:定义:区间区间 上的上的 型矩阵函数不恒型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为等于零的子式的最高阶数称为 的的秩秩。mn( )A x , a b( )A x , a b1*1( )( )( )AxA xA x*( )A x( )A x , a b( )A x现在学习的是第5页,共45页特别地,设特别地,设 为区间为区间 上的上的 阶矩阵函阶矩阵函数,如果数,如果 的秩为的秩为 ,则称,则称 一个一
4、个满秩满秩矩阵矩阵。注意:对于阶矩阵函数而言,满秩与可逆不是等价注意:对于阶矩阵函数而言,满秩与可逆不是等价的。即:可逆的一定是满秩的,但是满秩的却不一的。即:可逆的一定是满秩的,但是满秩的却不一定是可逆的。定是可逆的。例例 :已知已知( )A x , a bn( )A xn( )A x201( )A xxx现在学习的是第6页,共45页那么那么 。于是。于是 在任何区间在任何区间 上的秩都是上的秩都是2。即。即 是满秩的。但是是满秩的。但是 在在 上是否可逆,完全依赖于上是否可逆,完全依赖于 的取值。当区间的取值。当区间 包含有原点时,包含有原点时, 在在 上有零点,从而上有零点,从而 是不可
5、逆的是不可逆的 。 定义:定义:如果如果 的所有各的所有各元素元素 在在 处有极限,即处有极限,即 ( )A xx( )A x , a b( )A x( )A x , a b, a b , a b( )A x , a b( )A x( )( )ijm nA xax( )ijax0 xx现在学习的是第7页,共45页0lim( )(1,;1, )ijijxxaxaim jn其中其中 为固定常数。则称为固定常数。则称 在在 处有处有极限极限,且记为,且记为其中其中ija0 xx0lim( )xxA xA111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa( )A x现在学习的是第8页,共45页如
6、果如果 的各元素的各元素 在在 处连续处连续,即,即则称则称 在在 处处连续连续,且记为,且记为其中其中( )A x( )ijax0 xx00lim( )()(1,;1, )ijijxxaxaxim jn( )A x0 xx00lim( )()xxA xA x现在学习的是第9页,共45页1101201021022020010200()()()()()()()()()()nnmmmnaxaxaxaxaxaxA xaxaxax容易验证下面的等式是成立的:容易验证下面的等式是成立的:设设则则00lim( ),lim( )xxxxA xAB xB0(1)lim( ( )( )xxA xB xAB现在学
7、习的是第10页,共45页00(2)lim( )(3)lim( ( ) ( )xxxxkA xkAA x B xAB定义定义:如果如果 的所有各元素的所有各元素 在点在点 处处(或在区间或在区间 上上)可导,便称此函数矩阵可导,便称此函数矩阵 在点在点 处处(或在区间或在区间 上上)可导可导,并,并且记为且记为( )( )ijm nA xax( )(1,;1, )ijax im jn0 xx , a b( )A x0 xx , a b现在学习的是第11页,共45页00000110120102102202010200d ( )()()()limd()()()()()()()()()xx xnnmm
8、mnA xA xxA xA xxxaxaxaxaxaxaxaxaxax 现在学习的是第12页,共45页函数矩阵的导数运算有下列性质:函数矩阵的导数运算有下列性质: 是常数矩阵的充分必要条件是是常数矩阵的充分必要条件是 设设均可导,则均可导,则 ( )A xd ( )0dA xx( )( ), ( )( )ijm nijm nA xaxB xb xdd ( )d ( ) ( )( )dddA xB xA xB xxxx现在学习的是第13页,共45页dd ( )d ( ) ( ) ( )( )( )dddk xA xk x A xA xk xxxx设设 是是 的纯量函数,的纯量函数, 是函数矩是函
9、数矩阵,阵, 与与 均可导,则均可导,则特别地,当特别地,当 是常数是常数 时有时有( )k xx( )A x( )k x( )A x( )k xkdd ( )( )ddA xkA xkxx现在学习的是第14页,共45页(4) 设设 均可导,且均可导,且 与与 是可是可乘的,则乘的,则因为矩阵没有交换律,所以因为矩阵没有交换律,所以( ), ( )A x B x( )A x( )B xdd ( )d ( ) ( ) ( )( )( )dddA xB xA x B xB xA xxxx232dd ( )( )2 ( )dddd ( )( )3( )ddA xAxA xxxA xA xAxxx现在
10、学习的是第15页,共45页(5) 如果如果 与与 均可导,则均可导,则(6) 设设 为矩阵函数,为矩阵函数, 是是 的纯量的纯量函数,函数, 与与 均可导,则均可导,则( )A x1( )Ax111d( )d ( )( )( )ddAxA xAxAxxx ( )A x( )xf tt( )A x( )f tdd ( )d ( )( )( )( )dddA xA xA xftftxxx现在学习的是第16页,共45页定义:定义: 如果函数矩阵如果函数矩阵 的所有各的所有各元素元素 在在 上可积,则称上可积,则称 在在 上上可积可积,且,且( )( )ijm nA xax( )(1,;1, )ija
11、x im jn , a b( )A x , a b111212122212( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )dbbbnaaabbbbnaaaabbbmmmnaaaaxxaxxaxxaxxaxxaxxA xxaxxaxxaxx现在学习的是第17页,共45页( )d( )d ( )( )d( )d( )dbbaabbbaaakA xxkA xxkRA xB xxA xxB xx函数矩阵的定积分具有如下性质:函数矩阵的定积分具有如下性质:例例1 :已知函数矩阵已知函数矩阵试计算试计算21( )0 xA xx现在学习的是第18页,共45页23231(1)(
12、),( ),( )(2)( )(3)( )dddA xA xA xdxdxdxdA xdxdAxdx证明:证明:02( )10 xdA xdx220( )00 xdA xdx现在学习的是第19页,共45页由于由于 ,所以,所以下面求下面求 。由伴随矩阵公式可得。由伴随矩阵公式可得 3300( )00dA xdx3( )A xx 2( )3dA xxdx 1( )Ax现在学习的是第20页,共45页1*23231( )( )( )1001111AxA xA xxxxxxx 再求再求1( )dAxdx现在学习的是第21页,共45页213410( )23dxAxdxx例例2 :已知函数矩阵已知函数矩阵
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