常微分方程3.1可降阶的高阶微分方程.ppt
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1、1,第三章 二阶及高阶微分方程,3.1 可降阶的高阶方程,3.3 线性齐次常系数方程,3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法,3.5 高阶微分方程的应用,3.2 线性微分方程的基本理论,2,前一章介绍了一些一阶微分方程的解法, 在实际的应用中,还会遇到高阶的微分方程, 在这一章,我们讨论二阶及二阶以上的微分方程, 即高阶微分方程的求解方法和理论.,3,3.1 可降阶的高阶方程,n阶微分方程的一般形式是:,一 、 可降阶的高阶方程,(3.1.2),4,对上式进行k 次积分,可求出方程(3.1.2)的解.,求解方法:,若能求得其通解为:,令,就可把(3.1.2)化为关于,即,(3.1.2),5,
2、例 求解方程,解,将方程积分三次,通解:,6,它是一个一阶方程,通解是:,则方程可化为:,即,解: 令,例、求解方程,积分四次,得原方程的通解为:,7,例 解方程,解,令,代入原方程,8,2 、不显含自变量t 的方程,求解方法:,方程的一般形式为:,(3.1.3),9,由数学归纳法知,可用,(3.1.3),即有新方程:,它比原来的方程降低了一阶.,10,解,代入原方程,例,可分离变量方程,11,所以,例 求解方程,于是原方程化为:,作为新未知变量,取,代入原变量得:,故原方程的解为:,12,3、 全微分方程和积分因子,若方程,的左端是某个n-1阶微分表达式,对t 的全导数,即,称(3.1.4)
3、为全微分方程,显然有,(3.1.4),(3.1.5),13,若求得(3.1.5)的全部解:,则它也一定是(3.1.4)的解.,但乘以一个合适的因子,因子.,(3.1.4),(3.1.5),14,例 求解方程,解:原方程可以写成,即,积分后得通解为,故有,15,例 求解方程,解: 方程两边乘以因子,方程化为:,故有,解得,故原方程的解为,16,微分方程,满足条件,的特解是,或,解,可分离变量方程,即,练习,17,求微分方程,的积分曲线,使该,积分曲线过点,且在该点的切线斜率为2.,解,方程,代入方程,得,所求积分曲线为,练习,18,思考题,解,积分方程,过曲线 y = f (x)上点( x, f
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