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1、第3章、 矩阵的分解,Matrix Factorization and Decomposition,矩阵分解的概述,矩阵的分解: A=A1+A2+Ak 矩阵的和 A=A1A2 Am 矩阵的乘积 矩阵分解的原则与意义: 实际应用的需要,理论上的需要 计算上的需要,显示原矩阵的某些特性 矩阵化简的方法与矩阵技术 主要技巧: 各种标准形的理论和计算方法 矩阵的分块,3.1 常见的矩阵标准形与分解,常见的标准形 等价标准形 相似标准形 合同标准形,本节分解: 三角分解 满秩分解 可对角化矩阵的谱分解,AT=A,相似标准形,等价标准形,一、矩阵的三角分解(triangular decomposition
2、),方阵的LU和LDV分解(P.61) LU分解:AFnn, 有下三角形矩阵L ,上三角形矩阵U ,使得A=LU。 LDV分解:AFnn, L、V分别是主对角线元素为1的下三角形和上三角形矩阵,D为对角矩阵,使得A=LDV。 已知的方法:Gauss-消元法 例题1 (P.61eg1)设 求A的LU和LDV分解。,结论:如果矩阵A能用两行互换以外的 初等行变换化为阶梯形,则A有LU分解。,三角分解的存在性和惟一性 定理3.1 (P.62) : 矩阵的k 阶主子式:取矩阵的前k行、前k列得到的行列式,k=1,2, ,n。 定理: AFnn有惟一LDV分解的充要条件是A的顺序主子式Ak非零,k =1
3、,2,n-1。,讨论 (1) LDV分解的存在LU分解存在 (2)矩阵可逆与顺序主子式非零的关系,定理3.2(P.64)设矩阵AFnn ,rank(A)=k( n),如果A的k阶顺序主子式大于0,则 A有LU分解。 讨论: LDV分解与LU分解的关系 例题2 (P.65 eg2) LU分解的应用举例:求解线性方程组AX=b,二、矩阵的满秩分解,定义3.2 (P.66 ) 对秩为r 的矩阵AFmn ,如果存在秩为r的矩阵 B Fmr,CFrn ,则A=BC为A 的满秩分解。,例题2 ( P.69,eg5),列满秩,行满秩,定理3.2:任何非零矩阵AFmn都有满秩分解。 满秩分解的求法: 方法1:
4、 方法2 例题1( P.68, eg4 ) 方法3,例题3( P.70,eg6), 方法建立 的思想 方法实现的途径,三、可对角化矩阵的谱分解,将方阵分解成用谱加权的矩阵和 谱:设AFnn , 则A的谱=1,2,s。,,P具性质:,1. 可对角矩阵的谱分解 分解分析: 分解结果:,幂等矩阵,意义:可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和,2、 矩阵可以对角化的一个充要条件 定理3.5(P.73 ) 矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解 ,满足条件:,充分性的证明: 在A有谱分解时 Cn=V 1V 2 V n,3. 幂等矩阵的性质 定理3 .4(P.72)PFnn ,P2=P,则
5、矩阵PH和矩阵(IP)仍然是幂等矩阵。 P 的谱0,1,P 可相似于对角形。 Fn = N(P) R(P) N(P)=V =0 ,R(P)=V=1 P和(I P)的关系 N(I P)=R(P),R( I P )=N(P) Hermite 矩阵的谱分解 定理3 .6(P.73)设A是秩为k的半正定的Hermite 矩阵,则A可以分解为下列半正定矩阵的和。 A=v1v1H+v2v2H+vkvkH,3.2 Schur 分解和正规矩阵,已知:欧氏空间中的对称矩阵A可以正交 相似于对角形。 讨论:一般方阵A ,在什么条件下可以 酉相似于对角矩阵? 在内积空间中讨论问题,涉及: 空间 Cn、 Cnn, 酉
6、矩阵U,UHU=I, U 1=UH 酉相似: UHAU=J U1 AU=J 相似关系,重点:理论结果,列向量是空间Cn中的标准正交基,一、 Schur 分解,1、 可逆矩阵的UR分解 定理3.7(P.74)ACnn为可逆矩阵,则存在酉矩阵U和主对角线上元素皆正的上三角矩阵R,使得A=UR。( 称A=UR为矩阵A的酉分解) 证明:源于Schmidt正交化方法(P.18) 例题1 求矩阵A的UR分解,其中,定理3.8(P.76) :设矩阵ACmn是列满秩的矩阵,则矩阵A可以分解为A=QR,其中Q Cmn的列向量是标准正交的向量组,R Cnn是主对角线上元素为正数的上三角形矩阵。,QR分解,2 、S
7、chur 分解 定理3.7(P.74 )对矩阵ACnn,存在酉矩阵U和上三角矩阵T,使得 UHAU=T=,证明要点: A=PJ AP1 , P=UR A= PJ AP1 =U(RJR1 )UH =UTUH。,二、正规矩阵(Normal Matrices),1、 定义3.3(P.77 )A是正规矩阵 AHA=AAH。 常见的正规矩阵: 对角矩阵 对称和反对称矩阵:AT=A,AT=A。 Hermite矩阵和反Hermite矩阵:AH=A,AH=A 正交矩阵和酉矩阵:ATA=AAT=I,AHA=AAH=I。 例题1 (P.78,eg 10)设A为正规矩阵,B酉相似于A,证明B也是正规矩阵。,正规是酉相似的不变性质,例题2、AFmn,矩阵AHA 和矩阵AAH是正规矩阵。,2、正规矩阵的基本特性 定理3.10 (P.78 ) : ACnn正规A酉相似于对角形。 推论:正规ACnnA有个标准正交的特征向量构成空间Cn 的标准正交基。 定理3.11(P.80 )(正规矩阵的谱分解) A正规A有如下谱分解:,Hermite性,3、正规性质的应用举例 例题1(P.79 ,eg11) 例题2(P.79 ,eg12) 例题3 设ARnn,AT=A,证明 A的特征值是零和纯虚数。 矩阵A的秩是偶数。,
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