2022年第二十六章二次函数 .pdf
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1、第二十六章二次函数第一节函数的概念概念:一般地形如2yaxbxc(a、b、c 为常数,0a)的函数叫做二次函数,(其中 x 是自变量,a,b, c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项)1.下列函数:213yxx22(1)yxx232 21yxx2yaxbxc(a、b、c 为常数)2112yx223yx21yx。其中是二次函数的有()个A. 2 B.3 C.4 D.5 2.把二次函数(23 )(3)yxx化成一般式为,其中二次项系数为,一次项系数为,常数项为。3.若函数22(4)(2)3ymxmx是二次函数,则m。4.当 m 为何值时,函数22()mmymm x是二次函数?5.已知
2、函数24(3)(2)3mmymxmx,当 m 为何值时, y 为 x 的二次函数?6.小明把班级参加课外活动挣得的班费1500 元存入银行, 已知年利率为x,一年到期后, 银行将本金和利息自动按一年期储蓄转存,则存款两年所得的本息和y(元)与 x 的之间的函数关系式为()A.2 15000yxB.21500yxC.2(15001500 )yxD.21500(1)yx7.如图是一扇窗户的形状,中间有两个平行的横档,把它分成三个全等的小矩形,用8m 长的木料制作这个窗框(包括中间的横档),设横档长为x(米),求窗的面积y(平方米)与x 之间的函数关系式及x 的取值范围?精选学习资料 - - - -
3、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页第二节二次函数2yax的图象与性质概念:二次函数的图象是抛物线二次函数2yax的性质:1.对称轴是 y 轴。 2.顶点是原点,坐标为(0,0) 。3.开口方向当a 0 时,抛物线的开口向上;当a0 时,抛物线的开口向下;并且a越大,开口就越小,a越小,开口就越大。4.增减性当a0 时,在 y 轴的左侧,y 随 x 的增大而减小;在y 轴的右侧, y 随 x 的增大而增大 . 当a0 时,在 y 轴的左侧,y 随 x 的增大而增大;在y 轴的右侧, y 随 x 的增大而减小。 5.极值当a0 时,函数 y有最小
4、值, 当 x=0 时,最小值 y=0;当a0 时,函数 y 有最大值, 当 x=0 时,最大值 y=0。1. 抛物线212yx的对称轴是,顶点坐标是,抛物线上的点都在x 轴的,当 x 时, y 随 x 的增大而增大,当x 时, y 随 x 的增大而减小,当 x=时,该函数有最值是。2.在同一坐标系中:212yx2yx210yx,这三个函数图象开口最大的是,开口最小的是,开口向下的是。3. 已知抛物线2yx上有两个点(11,x y) , (22,xy) ,若1x2x0,则1y与2y的大小关系是。 已知抛物线20.1yx上有两个点 (11,x y) , (22,xy) ,若1x2x0, 则1y与2
5、y的大小关系是。4.若抛物线21(1)mym x的开口向下,则m 的值为()A.2 B.-2 C.3D.35.抛物线2yx与直线3yx的交点坐标是()A.(3,9)B.(0,0)C.(0,0)和( 3,9)D.(0,0)和( 9,3)6.函数2ykx和(2)(0)yk xk在同一直角坐标系里的大致图象是图中的() A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页7. 若点 B(2,-4 )在抛物线2yax上,则a=;若抛物线2yax与32yx的交点坐标为( 1,b) ,则a=,且另一个交点坐标为。8. 已知函数2
6、1yx与函数2132yx的图象大致如图所示,若1y2y,则自变量x 的取值范围是()A.32x2 B.x2 或 x32C.-2x32D.x-2 或 x329. 如图拱桥是抛物线形,其函数解析式近似地看作2yx,当水位线在AB 位置时,水面的宽度是12m,这时水面离桥顶的高度h 是。10.已知函数24(2)mmymx是关于 x 的二次函数。求: (1)满足条件的m 的值;(2)当 m 为何值时抛物线有最低点?求出这个最低点的坐标?当x 为何值时, y 随 x 的增大而增大?( 3)当 m 为何值时函数有最大值?最大值是多少?11. 若抛物线21yax与直线5yx交于点 M(2, b) 。(1)求
7、,a b的值(2)直线与抛物线另一个交点为N,求 N 点的坐标。(3)求 MON 的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页第三节二次函数2yaxk的图象与性质二次函数2yaxk的性质:1.对称轴是 y 轴。 2.顶点坐标为( 0,k) 。3.开口方向当a 0 时,抛物线的开口向上;当a0 时,抛物线的开口向下;并且a越大,开口就越小,a越小,开口就越大。4.增减性当a0 时,在 y 轴的左侧,y 随 x 的增大而减小;在y 轴的右侧, y 随 x 的增大而增大 . 当a0 时,在 y 轴的左侧,y 随 x 的增大
8、而增大;在y 轴的右侧, y 随 x 的增大而减小。 5.极值当a0 时,函数 y有最小值,当x=0 时,最小值是y=k;当a0 时,函数y 有最大值,当x=0 时,最大值是 y=k。(平移时:上加下减)1.抛物线2132yx的对称轴是,开口方向是,顶点坐标是。2. 把抛物线23yx向下平移 5 个单位后得到抛物线的解析式为;把抛物线223yx向上平移4 个单位后得到的抛物线的解析式为,抛物线223yx可以看成是把抛物线22yx向平移个单位得到的。3.下列各组抛物线中,能通过互相平移彼此得到对方的是()A.22yx与23yxB.2122yx与2122yxC.22yx与22yxD.22yx与22
9、yx4.对于二次函数2322yx,下列说法中错误的是()A.其最小值是2 B.其最大值是2 C.当 x0 是 y 随 x 的增大而减小 D. 其图象的对称轴是y 轴5.下列函数中,其图象的形状、开口方向相同的是()23yx212yx2112yx221yx253yx2153yxA . B. C. D.6. 若一条抛物线与212yx的形状相同且开口方向向下,顶点坐标为(0,-2) ,则这条抛物线的解析式为()A.2122yxB.2122yxC.2122yxD.2122yx7. 若抛物线2yaxc与抛物线283yx关于 x 轴对称,则a=, c=。精选学习资料 - - - - - - - - - 名
10、师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页8. 在同一坐标系中,二次函数2yaxc和一次函数yaxc的图象可能是() A B C D 9. 抛物线2yaxc的顶点是A(0,2) ,且形状及开口方向与212yx相同,求出此抛物线的解析式10. 已知二次函数22yax的图象经过点出(1,-1) :(1)求此二次函数的解析式(2)画出此二次函数的图象并依据图象写出y0 时, x 应满足的条件。11. 如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位AB时,宽20m ,拱高( O 点到 AB的距离)为4m 。(1)你能求出直角坐标系图1 中抛物线的解析式吗?(2)如果将直角坐标系建成
11、如图2,抛物线的形状、解析式有变化吗?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页第四节二次函数2()ya xh的图象与性质二次函数2()ya xh的性质:1.对称轴是 x=h。2.顶点坐标为( h,0) 。3.开口方向当a 0 时,抛物线的开口向上;当a0 时,抛物线的开口向下;并且a越大,开口就越小,a越小,开口就越大。4.增减性当a0 时,在对称轴的左侧, y 随 x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而增大. 当a0 时,在对称轴的左侧, y 随 x 的增大而增大;在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而减
12、小。5.极值当a0时,函数y 有最小值,当x=h 时,最小值是y=0;当a0 时,函数y 有最大值,当x=h时,最大值是y=0。(平移时:左加右减)1. 抛物线23(1)yx的开口向,对称轴是,顶点坐标是,可以看做是由抛物线23yx向平移个单位得到的。2. 如果抛物线212yx向左平移2 个单位,则所得抛物线的解析式为,如果把抛物线212yx向右平移3 个单位,则所得抛物线的解析式为,抛物线21(4)2yx可以看做把抛物线212yx向平移个单位得到的。3.对于任意实数h,抛物线2yx与2()yxh( )A.形状与开口方向相同B.对称轴相同C.顶点相同D.都有最高点4.二次函数23(1)yx的图
13、象上有三点A1( 2,)y,B2( 3,)y,C3( 5,)y,则123,y yy的大小关系是()A.1y2y3yB.2y1y3yC.1y3y2y D.3y1y2y5. 已知抛物线2()ya xh的对称轴为x=-2,且过点( 1,-3) 。(1)求抛物线的解析式(2)从图象上观察,当x 取何值时, y 随 x 的增大而增大?当x 取何值时,函数有极值?6.已知一条抛物线的开口方向和形状大小都与抛物线28yx都相同,并且它的顶点在抛物线232()2yx的顶点上。(1)求这条抛物线的解析式(2)求将( 1)中的抛物线向左平移5 个单位后得到的抛物线的解析式精选学习资料 - - - - - - -
14、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页第五节二次函数2()ya xhk的图象与性质二次函数2()ya xhk的性质:1.对称轴是 x=h。2.顶点坐标为(h,k) 。3.开口方向当a 0 时,抛物线的开口向上;当a0 时,抛物线的开口向下;并且a越大,开口就越小,a越小,开口就越大。4.增减性当a0 时,在对称轴的左侧, y 随 x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而增大. 当a0 时,在对称轴的左侧, y 随 x 的增大而增大;在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而减小。5.极值当a0时,函数y 有最小值,当x=h 时,最小值是y=k;当a0
15、时,函数y 有最大值,当x=h时,最大值是y=k。(平移时:左加右减,上加下减)1. 把抛物线2yx向左平移1 个单位,然后再向上平移3 个单位后所得抛物线的表达式为()A.2(1)3yxB.2(1)3yxC.2(1)3yxD.2(1)3yx2.抛物线22(1)3yx是抛物线22yx怎样平移得到的?3.已知二次函数的图象过点(0, 3) ,图象向左平移2 个单位后的对称轴为y 轴,再向下平移 1 个单位后与x 轴只有一个交点,写出原二次函数的解析式。4.抛物线21(1)43yx的顶点坐标是,开口向,对称轴是;抛物线2(2)yx的顶点坐标是。5.抛物线2()ya xhk与214yx的形状相同,开
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