2022年第十一章_三角形教案 .pdf
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1、1 / 24 第十一章三角形教材内容本章主要内容有三角形的有关线段、角,多边形及内角和,镶嵌等。三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段,与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性,在知道三角形的内角和等于1800的基础上,进行推理论证,从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念,介绍了多边形的有关概念,利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识,既是学习特殊三角形的基础,也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题,体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用.教案目标知识与技能1、理解三角形及有关概
2、念,会画任意三角形的高、中线、角平分线;2、了解三角形的稳定性,理解三角形两边的和大于第三边,会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形; 3、会证明三角形内角和等于1800,了解三角形外角的性质。4、了解多边形的有关概念,会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。5、理解平页镶嵌,知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平页,并能运用它们进行简单的平页镶嵌设计。过程与方法1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯;2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步培说理和进行简单推理的能力。情感、态度与价值
3、观1、体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心;2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题,增强应用意识;3、使学生进一步形成数学来源于实践,反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。重点难点三角形三边关系、内角和,多边形的外角和与内角和公式,镶嵌是重点;三角形内角和等于1800的证明,根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平页镶嵌设计是难点。课时分配11.1 与三角形有关的线段 2 课时11.2 与三角形有关的角 2 课时11.3 多边形及其内角和 2 课时11.4 课题学习镶嵌 1 课时本章小结 2 课时11.1.1三角形的边 教案目标 1、了解三角形的意义, 认识三角形的边
4、、内角、顶点,能用符号语言表示三角形;2、理解三角形三边不等的关系,会判断三条线段能否构成一个三角形, 并能运用它解决有关的问题. 重点难点 三角形的有关概念和符号表示,三角形三边间的不等关系是重点;用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 24 页2 / 24 教案过程 一、情景导入三角形是一种最常见的几何图形,投影1-6 如古埃及金字塔,香港中银大厦,交通标志,等等,处处都有三角形的形象。那么什么叫做三角形呢?二、三角形及有关概念不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图
5、形叫做三角形。注意 :三条线段必须不在一条直线上,首尾顺次相接。组成三角形的线段叫做三角形的边 ,相邻两边所组成的角叫做三角形的内角 ,简称角,相邻两边的公共端点是三角形的顶点 。三角形ABC 用符号表示为ABC 。三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用 c 表示 ,顶点 B 所对的边AC 可用 b 表示 ,顶点 A 所对的边BC 可用 a 表示 . 三、三角形三边的不等关系探究 :任意画一个ABC, 假设有一只小虫要从B 点出发 ,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择 ?各条路线的长一样吗?为什么?有两条路线:(1)从 BC ,( 2)从 BAC;不一样,AB+A C BC ;因为两
6、点之间线段最短。同样地有 AC+BC AB AB+BCAC 由式子我们可以知道什么?三角形的任意两边之和大于第三边. 由不等式移项得BCAB-AC,BC AC-AB.这就是说, 三角形两边的差小于第三边。四、三角形的分类我们知道,三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形,我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。按角分类 : 三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形那么三角形按边如何进行分类呢?请你按“有几条边相等”将三角形分类。a b c (1)CBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 24 页3 / 24
7、 三边都相等的三角形叫做等边三角形 ;有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 ;三边都不相等的三角形叫做不等边三角形 。显然,等边三角形是特殊的等腰三角形。按边分类 : 三角形不等边三角形等腰三角形底和腰不等的等腰三角形等边三角形五、例题例用一条长为18 的细绳围成一个等腰三角形。(1)如果腰长是底边的2 倍,那么各边的长是多少?(2)能围成有一边长为4 的等腰三角形吗?为什么?分析 :( 1)等腰三角形三边的长是多少?若设底边长为x ,则腰长是多少?(2)“边长为4 ”是什么意思?解:( 1)设底边长为x ,则腰长2 x 。x+2x+2x=18 解得 x=3.6 所以,三边长分别为3.6 , 7
8、.2 , 7.2 . (2)如果长为4 的边为底边,设腰长为x ,则4+2x=18 解得 x=7 如果长为4 的边为腰,设底边长为x ,则24+x=18 解得 x=10 因为 4+4 10,出现两边的和小于第三边的情况,所以不能围成腰长是4 的等腰三角形。由以上讨论可知,可以围成底边长是4 的等腰三角形。五、课堂练习课本 4 页练习 1、 2 题。六、课堂小结1、三角形及有关概念;2、三角形的分类;3、三角形三边的不等关系及应用。作业 :课本 8 页 1、2、6、7 题。11.1.2 三角形的高、中线与角平分线教案目标 1、经历画图的过程,认识三角形的高、中线与角平分线;腰腰底边顶角底角底角精
9、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 24 页4 / 24 2、会画三角形的高、中线与角平分线;3、了解三角形的三条高所在的直线,三条中线 ,三条角平分线分别交于一点. 重点难点三角形的高、中线与角平分线是重点;三角形的角平分线与角的平分线的区别,画钝角三角形的高是难点. 教案过程一、导入新课我们已经知道什么是三角形,也学过三角形的高。三角形的主要线段除高外,还有中线和角平分线值得我们研究。二、三角形的高请你在图中画出ABC 的一条高并说说你画法。从 ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD
10、叫做 ABC 的边 BC 上的 高,表示为AD BC 于点 D。注意 :高与垂线不同,高是线段,垂线是直线。请你再画出这个三角形AB 、AC 边上的高,看看有什么发现?三角形的三条高相交于一点。如果 ABC是直角三角形、钝角三角形,上页的结论还成立吗?现在我们来画钝角三角形三边上的高,如图。显然,上页的结论成立。请你画一个直角三角形,再画出它三边上的高。上页的结论还成立。三、三角形的中线如图,我们把连结ABC 的顶点A 和它的对边BC 的中点D,所得线段AD 叫做ABC 的边 BC 上的 中线 ,表示为 BD=DC 或 BD=DC 1/2BC 或 2BD=2DC=BC. 请你在图中画出ABC
11、的另两条边上的中线,看看有什么发现?三角的三条中线相交于一点。如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上页的结论还成立吗?请画图回答。上页的结论还成立。四、三角形的角平分线如图,画 A 的平分线AD ,交 A 所对的边BC 于点 D,所得线段AD 叫做 ABC 的角平分线 ,表示为 BAD= CAD 或 BAD= CAD 1/2 BAC 或 2 BAD=2 CAD BAC 。A B C O D E F DCBADCBA2 1DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 24 页5 / 24 思考 :三角形的角平分线与角的平分线是一
12、样的吗?三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线,是不一样的。请你在图中再画出另两个角的平分线,看看有什么发现?三角形三个角的平分线相交于一点。如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上页的结论还成立吗?请画图回答。上页的结论还成立。想一想: 三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同?三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部,而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交战在角直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。五、课堂练习课本 4 页练习 1、2 题。六、课堂小结1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。2、三角形的三条高、三条中线、
13、三条角平分线及交点的位置规律。作业:课本 8-9 页 3、4、8、9 题。11.1.3三角形的稳定性 教案目标 1、知道三角形具有稳定性,四边形没有稳定性;2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。重点难点 三角形稳定性及应用。教案过程 一、情景导入盖房子时,在窗框未安装之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢?二、三角形的稳定性实验 1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?不会改变。( 2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 24 页6 / 24 2、把四根木条用钉子钉成一
14、个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?会改变。3、在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后扭动它,它的形状会改变吗?不会改变。从上页的实验中,你能得出什么结论?三角形具有稳定性,而四边形不具有稳定性。三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用三角形具有稳定性固然好,四边形不具有稳定性也未必不好,它们在生产和生活中都有广泛的应用。如:钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性,活动挂架则是利用四边形的不稳定性。你还能举出一些例子吗?四、课堂练习1、下列图形中具有稳定性的是()A 正方形 B 长方形 C 直角三角形 D 平行四边形2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍?3、
15、课本 7 页练习。作业 8-9 页 5、10 题。11.2.1三角形的内角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 24 页7 / 24 教案目标 掌握三角形内角和定理。重点难点 三角形内角和定理是重点;三角形内角和定理的证明是难点。教案过程 一、导入新课我们在小学就知道三角形内角和等于1800,这个结论是通过实验得到的,这个命题是不是真命题还需要证明,怎样证明呢?二、三角形内角和的证明回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的?把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,用量角器量出 BCD的度数,可得到A+B+ACB=1800。
16、图 1 想一想,还可以怎样拼?剪下 A,按图( 2)拼在一起,可得到A+B+ACB=1800。图 2 把B和C剪下按图( 3)拼在一起,可得到A+B+ACB=1800。如果把上页移动的角在图上进行转移,由图1 你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗?已知 ABC ,求证: A+ B+C=1800。证明一过点 C 作 CM AB ,则 A=ACM , B=DCM ,又 ACB+ ACM+ DCM=1800 A+B+ACB=1800。即:三角形的内角和等于1800。由图 2、图 3你又能想到什么证明方法?请说说证明过程。三、 例题例如图, C 岛在 A 岛的北偏东500方向, B 岛在 A
17、岛的北偏东800方向, C 岛在 B 岛的北偏西400方向,从C 岛看 A、B 两岛的视角 ACB是多少度?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 24 页8 / 24 分析: 怎样能求出 ACB的度数?根据三角形内角和定理,只需求出CAB和 CBA的度数即可。 CAB等于多少度?怎样求CBA的度数?解: CBA= BAD-CAD=800-500=300AD BE BAD+ ABE=1800 ABE=1800- BAD=1800-800=1000 ABC= ABE-EBC=1000-400=600 ACB=1800- ABC-C
18、AB=1800-600-300=900答:从 C 岛看 AB 两岛的视角 ACB=1800是 900。四、课堂练习课本 13 页 1、2 题。作业 :16-17 页 1、3、4; 7 、9 题。第七章复习一(11.1-11.2.1)一、双基回顾1、三角形:由的三条直线所组成的图形,叫做三角形。1图中有个三角形,用符号表示为。2、三角形的分类:( 1)按角分类:三角形(2)按边分类 : 三角形2 三角形中最大的角是700,那么这个三角形是三角形。3、三角形三角的关系:三角形三个内角的和是。4、三角形的三边关系:三角形的两边之和第三边,两边之差第三边。3一个三角形的两边长分别是3和8,则第三边的范
19、围是 . A D C B E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 24 页9 / 24 5、三角形的高、中线、角平分线从三角形的向它的作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高注意: 三角形的高与垂线不同;三角形的高可能在三角形内部,可能在三角形的边上,可能在三角形的外部。在三角形中 , 连接与它的线段,叫做三角形的中线 . 在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,与之间的线段 , 叫做三角形的 角平分线 。注意: 三角形的角平分线与角的平分线不同. 4如图,以 AE 为高的三角形是 . 6、三角形的三条高所在的直线相
20、交于一点。这点可能在三角形的,可能在三角形的,可能在三角形的。三角形的三条中线相交于一点。这点在三角形的 . 三角形的三条角平分线相交于一点。这点在三角形的。 5 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是 A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形7、三角形的稳定性:具有稳定性,具有不稳定性 . 6有些窗户是可以向外推开的,当我们把窗户推开后,就顺手把风钩勾上,为什么这样做呢?我们的校门是铁栅栏,为什么既能拉开,又能推拢去呢?二、例题导引例 1 两根木棒长分别为3厘M 和6厘M ,要截取其中一根木棒将它钉成一个三角形,如果要求三边长为整数,那么截取的情况
21、有几种?例2 如图,已知 AD 、AE 分别是 ABC 的高和中线,AB=6 厘M ,AC=8 厘M ,BC 10厘 M , CAB=900, 试求( 1) AD 的长;( 2)ABE 的页积;(3)ACE 与ABE 的周长的差。例3 如图, BE 平分 ABC,CD 平分 ACB , A500,求 BOC 的度数。三、练习升华A B C D E A B C D E O A B C D E 1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 24 页10 / 24 A B C D E 夯实基础1、有下列长度的三条线段, 能组成三角形
22、的是( ) A.1、2、3 B.1、2、4 C.2、3、4 D.2、3、6 2 、 如 图 , 工 人 师 傅 把 新 做 好 的 门 框 上 方 钉 两 根 木 条 后 存 放 起 来 , 这 是 防止,根据是 . 2 题 3题 4题3、图中共有个三角形。4、如图, AB BD于B, DCAC 于C,AC与 BD 交于点 E,那么 ADE 的边 DE 上的高为,AE 上的高为 . 5、下列说法正确的是A、直角三角形只有一条高 B 、三角形的三条中线相交于一点C、三角形的三条高相交于一点 D 、三角形的角平分线是射线6、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是 ( ) A.锐角三角形
23、B.钝角三角形 C.直角三角形 D.钝角或直角三角形7、现有两根木棒, 它们的长度分别为20cm 和 30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架 , 应在下列四根木棒中选取的木棒 A.10cm B.20cm C.50cm D.60cm 8、在 ABC 中,AB=AC,AD是中线 , ABC 的周长为 34cm,ABD 的周长为 30cm, 求AD 的长 . 9、在 ABC中,高 CE,角平分线BD交于点 O, ECB=50 , 求 BOC的度数 . 能力提高10、在 ABC 中, 若 A+B=C,则此三角形为 _三角形 . 11、任何一个三角形的三个角中至少有A、一个锐角 B 、两个
24、锐角 C 、一个直角 D 、一个钝角12、已知等腰三角形的两边长分别为3 和 6, 则它的周长为 A.13 B.15 C. 14 D. 13或 15 13、若等腰三角形的腰长为6, 则它的底边长a 的取值范围是_。若等腰三角形的底边长为4, 则它的腰长b 的取值范围是 _. 14、在 ABC中,AD 是 BC上的中线 ,且 SACD=12,SABC .15、在 ABC中,AB=AC, AC 边上的中线BD把 ABC的周长分成15 和 6 两部分,求这个三角形的腰长及底边长。16、如图, ABC中,AD、AE分别是 ABC E A B C D E A B C D 精选学习资料 - - - - -
25、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 24 页11 / 24 的高和角平分线,C600, B280,求 DAE的度数。探究创新17、如图,线段AB、 CD 相交于点O ,能否确定CDAB与BCAD的大小,并加以说明ODCBA11.2.2三角形的外角 教案目标 1、理解三角形的外角;2、掌握三角形外角的性质,能利用三角形外角的性质解决问题。重点难点 三角形的外角和三角形外角的性质是重点;理解三角形的外角是难点。教案过程 一、导入新课如图, ABC 的三个内角是什么?它们有什么关系?是 A、 B、 C,它们的和是1800。若延长 BC 至 D,则 ACD 是什
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