2022年高中精品-数学:求递推数列通项公式的十种策略例析 2.pdf
《2022年高中精品-数学:求递推数列通项公式的十种策略例析 2.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年高中精品-数学:求递推数列通项公式的十种策略例析 2.pdf(11页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、3.3 递推数列一、基本知识简述1有关概念:我们在研究数列an时,如果任一项an与它的前一项1na(或几项)间的关系可以用一个公式来表示,则此公式就称为数列的递推公式。通过递推公式给出的数列,一般我们也称之为递推数列。主要有以下几种方法:(1)构造法: 通过构造特殊的数列(一般为等差数列或等列),利用特殊数列的通项求递推数列的通项 . (2)迭代法:将递推式适当变形后,用下标较小的项代替某些下标较大的项,在一般项和初始之间建立某种联系,从而求出通项. (3)代换法:包括代数代换、三角代换等(4)待定系数法:先设定通项的基本形式,再根据题设条件求出待定的系数。3. 思想策略:构造新数列的思想。4
2、. 常见类型:类型:为常数)aaanpnqanpann()0)()()(11(一阶递归)类型 II: 分式线性递推数列:)0(1ABAaDCaannn二、例题:例 1:231nnaa,21a,求通项na分析:构造辅助数列,) 1( 311nnaa,则13nna求通项过程中, 多次利用递推的思想方法以及把一般数列转化为等差、等比数列去讨论,从而求出了通项公式na。一般形式 已知qpaann1,aa1,其中 p,q,a 为常数,求通项na同类变式 已知数列na满足) 12(21naann,且21a,求通项na分析: (待定系数) ,构造数列bknan使其为等比数列,即)(2)1(1bknabnka
3、nn,解得1,2 bk求得12251nann归纳 :类型:为常数)aaanpnqanpann()0)()()(11(一阶递归)其特例为:( 1)1)(np时,)(1nqaann精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页利用累加法,将) 1(1nqaann,1na2na+)2(nq,2a1a+)1 (q ,各式相加,得na1a+11)(nkkq(n2) (2)0)(nq时,nnanpa)(1; 利用累乘法 ,111)(nknkpaa( 3)qnqpnp)(,)(时,)0(1pqpaann解题方法:利用待定系数法构造类似于“等
4、比数列”的新数列法1: ( 常数变易法) 设)(1xapxann则) 1(1pxpaann,从而1pqx亦即数列1pqan是以1pqan为首项,公比为p 的等比数列,从而可得:11)1(1nnppqapqa,1)1(1pqppqaann1)1(1pqpqpan法 2:)(211nnnnaapaa利用1nnaa成等比数列求出1nnaa,再利用迭代或迭另法求出na法 3:由qpaann1,则可得21221221111. . . . . . . .pqpapapqpapapqpapannnnnnnnnn,从而又可得nnnpqpqpqpapa.321即).11(121nnnpqpppqpapa1) 1
5、(1pqpqpan(4)qnqpnp)(,)(n时,)0(1pqpaannn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页两边同除以np例 2:数列na的前 n 项和为nS,且11a,nS*)(2Nnann,求数列na的通项公式 . 例 3:数列na中,且311a,1221nnnaaa,求数列na的通项公式 . 提示 112111nnaa归纳 :类型 II: 分式线性递推数列:)0(1ABAaDCaannn练习: 1.已知数列na中,nS是其前n项和,并且1142(1,2,),1nnSana,设数列),2, 1(21naabn
6、nn,求证:数列nb是等比数列;设数列),2, 1( ,2nacnnn,求证:数列nc是等差数列;求数列na的通项公式及前n项和。分析 :由于 bn和cn中的项都和 an中的项有关, an中又有 S1n=4an+2, 可由 S2n-S1n作切入点探索解题的途径解 : (1)由S1n=4a2n, S2n=4a1n+2, 两 式 相 减 , 得 S2n-S1n=4(a1n-an), 即a2n=4a1n-4an(根据 bn的构造,如何把该式表示成b1n与 bn的关系是证明的关键,注意加强恒等变形能力的训练) a2n-2a1n=2(a1n-2an),又 bn=a1n-2an,所以 b1n=2bn已知
7、S2=4a1+2, a1=1,a1+a2=4a1+2,解得 a2=5,b1=a2-2a1=3 由 和 得,数列 bn是首项为3,公比为2 的等比数列,故bn=321n当 n2 时, Sn=4a1n+2=21n(3n-4)+2;当 n=1 时, S1=a1=1 也适合上式综上可知,所求的求和公式为Sn=21n(3n-4)+2说明: 1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件241nnaS得出递推公式。2解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
8、归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页面求解的过程中适时应用练习: 2.设二次方程nax2-1.nax+1=0(nN)有两根 和,且满足 6-2+6 =3(1)试用na表示 a1n;例 9数列na中,2,841aa且满足nnnaaa122*Nn求数列na的通项公式;设|21nnaaaS,求nS;设nb=)12(1nan)(),(*21*NnbbbTNnnn,是否存在最大的整数m,使得对任意*Nn,均有nT32m成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。解: (1)由题意,nnnnaaaa112,na为等差数列,设公差为d,由题意得2382dd,nnan210) 1(
9、28. ( 2)若50210nn则,|,521nnaaaSn时21281029,2nnaaannn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页6n时,nnaaaaaaS765214092)(2555nnSSSSSnn故nS409922nnnn65nn(3))111(21)1(21)12(1nnnnanbnnnT)111()111()4131()3121()211(21nnnn.) 1(2 nn若32mTn对任意*Nn成立,即161mnn对任意*Nn成立,)(1*Nnnn的最小值是21,,2116mm的最大整数值是7。即存在最
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2022年高中精品-数学:求递推数列通项公式的十种策略例析 2022 年高 精品 数学 求递推 数列 公式 策略
限制150内