2022年三角函数和反三角函数 .pdf
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1、学习好资料欢迎下载第二章三角、反三角函数一、考纲要求1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确进行弧度和角度的互换。2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同角三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义。3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。4.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式的证明。5.了解正弦函数、余弦函数,正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数,余弦函数和函数y=Asin(wx+)的简图,理解A、w、的物理意义。6.会由已知三角函数值求角,并会用符
2、号arcsinx、arccosx、arctgx表示。7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决三角形的计算问题。8.理解反三角函数的概念,能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质,能运用反三9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。二、知识结构1.角的概念(1)定义:一条射线 OA由原来的位置OA,绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB,就形成了角。其中射线OA叫角 的始边,射线OB叫角 的终边,O叫角 的顶点。(2)正角、零角、负角:由始边的旋转方向而定。(3)象限角:由角的终边所在位置确定。第一象限角:2k2k+2,k Z 第二象限角:2k+22k+,k
3、Z 第三象限角:2k+2k+23,k Z 第四象限角:2k+232k+2,k Z(4)终边相同的角:一般地,所有与角终边相同的角,连同角在内(而且只有这样的角),可以表示为k360+,kZ。(5)特殊角的集合:终边在坐标轴上的角的集合2k,kZ终边在一、三象限角平分线上角的集合k+4,kZ终边在二、四象限角平分线上角的集合k-4,kZ终边在四个象限角平分线上角的集合k-4,kZ2.弧度制:(1)定义:用“弧度”做单位来度量角的制度,叫做弧度制。(2)角度与弧度的互化:1180弧度,1 弧度(180)(3)两个公式:(R 为圆弧半径,为圆心角弧度数)。弧长公式:l=R 名师资料总结-精品资料欢迎
4、下载-名师精心整理-第 1 页,共 23 页 -学习好资料欢迎下载扇形面积公式:S=21lR=21R23.(1)定义:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得x 取定义域内的任意值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)叫做周期函数,其中非零常数T 叫做这个函数的一个周期,如果 T 中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。(2)几个常见结论:如果 T 是函数 y=f(x)的一个周期,那么kT(k Z,且 k0)也是 y=f(x)的周期。(1)如果 T 是函数 y=f(x)的一个周期,那么T也是 y=f(wx)(w0)的周期。一个周期函数不一定有最小正
5、周期,如常函数y=f(x)=c。4.三角函数定义:(1)定义:设是一个任意大小的角,P(x,y)是角 终边上任意一点,它与原点的距离PO=r,那么角 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sin=ry,cos=rx,tg=yr,ctg=yx,Sec=rx,csc=ry(如图(1)。(2)六个三角函数值在每个象限的符号:(如图(2)(3)同角三角函数的基本关系式:倒数关系:sin csc=1,cos sec=1,tg ctg=1 商数关系:tg=cossin,ctg=sincos平方关系:sin2+cos2=1,1+tg2=sec2,1+ctg2=csc2(4)诱导公式:2k+-+2-2-2
6、+正弦sin-sin sin-sin-sin coscos余弦coscos-cos-cos cossin-sin 正切tg-tg-tg tg-tg ctg-ctg 余切ctg-ctg-ctg ctg-ctg tg-tg 上述公式可以总结为:奇变偶不变,符号看象限。5.已知三角函数值求角6.三角函数的图象和性质:(1)三角函数线:如图(3),sin=MP,cos=OM,tg=AT,ctg=BS 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页,共 23 页 -学习好资料欢迎下载(2)三角函数的图像和性质:函数y=sinx y=cosx y=tgx y=ctgx 图象定义域R R xxR
7、且 x k+2,k Zx xR 且 xk,k Z值域-1,1x=2k+2时ymax=1 x=2k-2时 ymin=-1-1,1 x=2k时 ymax=1 x=2k +时ymin=-1 R 无最大值无最小值R 无最大值无最小值周期性周期为 2周期为 2周期为 周期为 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在2k-2,2k+2上都是增函数;在2k+2,2k+32上都是减函数(k Z)在2k-,2k上都是增函数;在 2k,2k+上都是减函数(k Z)在(k-2,k+2)内 都 是 增函数(k Z)在(k,k+)内都是减函数(kZ)7.函数 y=Asin(wx+)的图像:函数 y=Asin(wx+)的图
8、像可以通过下列两种方式得到:0,图像左移(1)y=sinx y=sin(x+)0,图像右移 w1,横坐标缩短为原来的w1倍 y=sin(wx+)0w1,横坐标伸长为原来的w1倍 A1,纵坐标伸长为原来的A倍 y=Asin(wx+)0A 1,纵坐标缩短为原来的A倍 w1,横坐标缩短为原来的w1倍(2)y=sinx 0w1,横坐标伸长为原来的w1倍0,图像左移wy=sin(wx)0,图像右移w A1,纵坐标伸长为原来A倍y=sin(wx+)y=Asin(wx+)0A1,纵坐标缩短为原来A倍名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页,共 23 页 -学习好资料欢迎下载8.两角和与差的三
9、角函数:(1)常用公式:两角和与差的公式:sin()sin coscossin,cos()=cos cossin sin,tg()=tgtgtgtg1倍角公式:sin2=2sin cos,cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,tg2=212tgtg.半角公式:sin2=2cos1,cos2=2cos1,tg2=cos1cos1=cos1sin=sincos1.积化和差公式:sin cos=21sin(+)+sin(-),cossin=21sin(+)-sin(-)coscos=21cos(+)+cos(-),sin sin=-21cos(+)-cos(-)和差化积公式:
10、sin+sin=2sin2cos2,sin-sin=2cos2sin2cos+cos=2cos2cos2,cos-cos=-2sin2sin2万能公式:sin=21222tgtg,cos=212122tgtg,tg=21222tgtg(2)各公式间的内在联系:名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页,共 23 页 -学习好资料欢迎下载(3)应注意的几个问题:凡使公式中某个式子没有意义的角,都不适合公式。灵活理解各公式间的和差倍半的关系。在半角公式中,根号前的符号由半角所在像限来决定。常具的变形公式有:cos=sin22sin,sin2=22cos1,cos2=22cos1,tg
11、+tgtg(+)(1-tgtg).asin+bcos=22basin(+).(其中所在位置由a,b 的符号确定,的值由 tg=ab确定)。9.解斜三角形:在解三角形时,常用定理及公式如下表:名称公式变形内角和定理A+B+C=2A+2B2-2C,2A+2B 2-C 余弦定理a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC cosA=bcacb2222cosB=acbca2222cosCabcba2222正弦定理Aasin=Bbsin=Ccsin=2R R为ABC的外接圆半径a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC sinA=Ra2,
12、sinB=Ra2,sinC=Rc2射影定理acosB+bcosA=c acosC+cosA=b bcosC+ccosB=a 面积公式S=21aha=21bhb=21chcS=21absinC=21acsinB=21bcsinA sinA=abS2sinB=acS2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页,共 23 页 -学习好资料欢迎下载S=Rabc4 S=c)-b)(P-a)(P-P(P(P=21(a+b+c)S=21(a+b+c)r(r 为ABC内切圆半径)sinC=abS210.反三角函数:名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x-2,2 的反函数
13、,叫做反正弦函 数,记作x=arsiny y=cosx(x 0,)的反函数,叫做反余弦函数,记作 x=arccosy y=tgx(x(-2,2)的反函数,叫做反正切函数,记作x=arctgy y=ctgx(x(0,)的反函数,叫 做 反 余 切 函数,记作x=arcctgy 理解arcsinx表 示 属于-2,2且正弦值等于x的角arccosx表示属于0,且余弦值等于 x 的角arctgx表 示 属 于(-2,2),且正切值等于 x 的角arcctgx表示属于(0,)且余切值等于 x 的角图像性质定义域-1,1-1,1(-,+)(-,+)值域-2,20,(-2,2)(0,)单调性在-1,1上是
14、增函数在-1,1上是减函数在(-,+)上是增数在(-,+)上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=-arccosx arctg(-x)=-arctgx arcctg(-x)=-arcctgx 周期性都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x-1,1)arcsin(sinx)=x(x-2,2)cos(arccosx)=x(x-1,1)arccos(cosx)=x(x 0,)tg(arctgx)=x(xR)arctg(tgx)=x(x(-2,2))ctg(arcctgx)=x(x R)arcctg(ctgx)=x(x(0,)互余恒等式arcsinx+
15、arccosx=2(x -1,1)arctgx+arcctgx=2(XR)11.三角方程:(1)最简单三角方程的解集:方程方程的解集sinx=a a 1 a=1 xx=2k+arcsina,kza 1 xx=k+(-1)karcsina,kz名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页,共 23 页 -学习好资料欢迎下载cosx=a a 1 a=1 xx=2k+arccosa,k za 1 xx=2karccosa,k z tgx=a xx=k+arctga,kzctgx=a xx=k+arcctga,kz(2)简单三角方程:转化为最简单三角方程。三、知识点、能力点提示三角函数是中
16、学数学的主要内容之一,也是每年高考的必考内容,其主要内容由以下三部分构成:三角函数的定义,图像和性质;三角恒等变形;反三角函数。在高考中,第二部分为主要内容,进行重点考查,当然也不放弃前后两部的考查,对近几年高考试题进行分析后,可以看出:对三角函数的考查主要有两种方式:单独考查三角函数或与其它学科综合考查,前一部分通常是容易题或中等题,而后一部分有一定难度。下面对常见考点作简单分析:1.角、三角函数定义的考点:这是对三角基础知识的直接考查,一般不会单独成题,更多地是结合其它方面的内容(如:三角恒等变形,三角函数性质等)对多个知识点作综合考查。2.三角函数图像的考查:通常有三种方式:由图像到解析
17、式:由图像到性质;图像的应用。3.三角函数性质的考查(1)定义域和值域:(2)周期性:通常结合恒等变形考查如何求三角函数的最小正周期,或考查与周期性相关的问题,如:设f(x)是(-,+)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0 x1 时,f(x)=x,则f(7.5)=()(3)单调性:通常以处理最值问题的形式出现,总与恒等变形联系在一起,一般地二次函数,对数函数等的最值问题相结合。4.三角恒等变形:以化简、求值、证明等各种题型出现,以题中通常考查和、差、倍、半各公式的运用,大题中通常考查和积互化公式的运用,这是三角函数的重要内容。5.反三角函数:对这部分的考查多属于容易题或中档题,重点是反
18、三角函数的定义和性质。6.代数、三角、解几、立几,不等式等的综合考查。进行三角恒等变形是处在三角问题最常用的技能,下面分析几种常见的解题思路:1.角的变换:观察各角之间的和、差、倍、半关系,减少角的种类,化异角为同角。2.函数名的变换:观察、比较题设与结论之间,等号的左右两边的函数名差异,化异名为同名。3.常数的变换:常用方式有1=sin2+cos2=sec2-tg2=tg4,23=sin3等。4.次数的变化:常用方式是升次或降次:主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用。5.结构变化:对条件,结论的结构施行调整,或重新分组,或移项,或变除为乘,或求差等6.和积互化:这既是一种基本技能,也是一种
19、常见解题思路,且应用比较广泛。7.综合运用上述各种方式。例 1 sin600的值是()A.21.B.-21 C.23 D.-23解:sin600=sin(360+240)=sin240=sin(180+60)=-sin60=-23应选 D.例 2已知 sin+cos=51,(0,),则 ctg 的值是 _.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页,共 23 页 -学习好资料欢迎下载解:sin+cos=51(sin+cos)2=(51)2sin cos=-2512.sin 和 cos是方程 t2-51t-2512=0,即方程 25t2-5t-12=0的两根.25t2-5t-12=
20、(5t+3)(5t-4)=0的两根为 t1=54,t2=-53.(0.)sin 0.sin=54,从而 cos=-53,ctg=sincos.=-43.应填-43.例 3 tg20+tg40+3tg20 tg40 的值是 _.解:3=tg60=tg(20+40)=402014020tgtgtgtg,tg20+tg40=3(1-tg20 tg40).原式=3(1-tg20 tg40)+3 tg20 tg40).=3应填3.例 4求值:cos85cos8=_.解:cos85cos8=21(cos43+cos2)=21(-22+0)=-42.例 5关于函数 f(x)=4sin(2x+3)(xR),有
21、下列命题:由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2必是 的整数倍;y=f(x)的表达可以改写为y=4cos(2x-6);y=f(x)的图像关于点(-6,0)对称;y=f(x)的图像关于直线x=-6对称;其中正确命题的序号是_.(注:把你认为正确的命题序号都填上)解:分别讨论四个命题.令4sin(2x+3)=0,得2x+3=k(k Z),x=2k-6(k Z),设x1=21k-6,x2=22k-6,k1k2,k1,k2Z,则 f(x1)=f(x2)=0,但 x1-x2=2(k1-k2),当 k1-k2为奇数时,x1-x2不是 的整数倍命题不正确.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整
22、理-第 8 页,共 23 页 -学习好资料欢迎下载y=f(x)=4sin(2x+3)=4cos 2-(2x+3)=4cos(-2x+6)=4cos(2x-6)命题正确根据2x+30 2232X-6126212765Y 0 4 0-4 0 作出 y=f(x)=4sin(2x+3)的草图,如图由图知,f(x)的图像关于点(-6,0)对称,命题正确由图知,y=f(x)的图像不关于直线x=-6对称命题不正确应填、例 6函数 y=sin(x-6)cosx 的最小值是 _.解:利用积化和差公式(注:今后高考试卷中会印写公式),得y=21sin(2x-6)+sin(-6)=21 sin(2x-6)-41.s
23、in(2x-6)-1,1,ymin=-43.应填-43.例 7 y=x2cosxcoscos3xxsinsin3x233+sin2x,则 y 的最小值是 _.解:利用3 倍公式:sin3x=3sinx-4sin3x,cos3x=4cos3x-3cosx.y=x2cosx3cosx)cos-x(4cosxsinx)4sin-(3sinx23333+sin2x=x2cosx3cos-x4cosx4sin-x3sin24664+sin2x=x2cosx)sin-x4(cosx)cos-x3(sin26644+sin2x=x2cosx)xsincos-x)(1sin-x4(cosx)cos-x3(si
24、n2222222+sin2x=x2cosxxcosxcos4sin-4cos2x3cos2x-2222+sin2x=cos2x2xsin-12+sin2x 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页,共 23 页 -学习好资料欢迎下载=cos2x+sin2x=2sin(2x+4)ymin=-2.应填-2例 8在直角三角形中,两锐角为A和 B,则 sinA sinB()A.有最大值21和最小值 0 B.有最大值21但无最小值C.既无最大值也无最小值D.有最大值1 但无最小值解:A+B=2.sinA sinB=sinA cosA=21sin2A,A(0,2)2A(0,)sinAcos
25、A 有最大值21但无最小值.应选 B.例 9 求函数 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2的最大值解:2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=2cos2x1y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+2 2cos2x1=sin2x+cos2x+2=2(sin2x cos4+cos2xsin4)+2=2 sin(2x+4)+2 当 2x+4=2+2k时,ymax=2+2即 x=8+K(KZ),y 的最大值为2+2例 10已知 是第三象限角,且sin=-2524则 tg2=
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