离散时间系统的变换域分析金城.ppt
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1、离散时间系统的变换域分析离散时间系统的变换域分析金城金城现在学习的是第1页,共61页主要内容nZ变换及其性质n离散时间系统的Z变换分析n离散时间系统的系统函数和稳定性现在学习的是第2页,共61页8.2 Z变换及其性质一、Z变换的定义及其收敛区 我们知道离散信号可以由连续信号抽样得到:kkTkTtkTfkTttfttf)()()()()()(两边求双边拉普拉斯变换:ksTkstkTdekTfdtekTtkTfttf)()()()()(L L现在学习的是第3页,共61页)()(,kfkTfezsT令kkTdzkfttf)()()(L L则上式就定义为序列f(k)的双边z变换,记为:kkddzkfz
2、Fkf)()()(Z Z与拉普拉斯变换一样,在离散系统中我们感兴趣的是因果系统和有始的激励,因此我们同样定义f(k)的单边Z变换:现在学习的是第4页,共61页或用记号 表示它们是一对Z变换对。显然单边Z变换是一个单边的无穷级数 0)()()(kkzkfkfzFZ Z210)2()1()0()()(zfzffzkfzFkkF(z)是否存在要看级数是否收敛,使级数收敛的Z的取值范围称为收敛区收敛区。()()f kF z现在学习的是第5页,共61页要级数收敛要求|Z|-1小于某一数值,或表示为|Z|R,R与具体的序列有关。将它用图形在Z平面上表达出来,它是以原点为圆心R为半径的圆之外的区域,所以R就
3、称为收收敛半径敛半径。现在学习的是第6页,共61页例如:f(k)=ak(k)求F(z)及其收敛区。azzazazazazzkfzFkk131211011)()(1)()(解:|1|1azaz即现在学习的是第7页,共61页说明:1、Z变换与连续系统中的拉普拉斯变换相对应,也有双边与单边之分。2、Z变换与拉普拉斯变换是有联系的,它们之间的关系由 表明。3、能量有限的有限长序列,单边Z变换的收敛区为|z|0。4、有始无终的单边序列,单边Z变换的收敛区总是在某一圆外。5、在收敛区中不应包含极点。()()sTzef kf kT和现在学习的是第8页,共61页二、常用序列的二、常用序列的Z变换变换1、单位函
4、数(k)1)()(0kkzkkZ Z收敛区为整个Z平面|z|0。2、单位阶跃序列(k)1|111)(10zzzzzkkkZ Z现在学习的是第9页,共61页3、单边指数序列f(k)=vk(k)|11)()()(1010vzvzzvzvzzvkfzFkkkkkZ Z4、单边正弦和余弦序列sin(kT)(k),cos(kT)(k)现在学习的是第10页,共61页)()(21)()(21)()sin(kekejkeejkkTkTjkTjkTjkTjZ ZZ ZZ ZZ Z1cos2sin212TzzTzezzezzjTjTj1|,|,|zeeMaxzTjTj现在学习的是第11页,共61页)()(21)(
5、)(21)()cos(kekekeekkTkTjkTjkTjkTjZ ZZ ZZ ZZ Z1|1cos2)cos(212zTzzTzzezzezzTjTj同理现在学习的是第12页,共61页1cos2sin)()sin(2TzzTzkkT1cos2)cos()()cos(2TzzTzzkkT所以:现在学习的是第13页,共61页三、三、Z变换的性质变换的性质1、线性性质 若:f1(k)F1(z),f2(k)F2(z)则:a1f1(k)+a2 f2(k)a1F1(z)+a2 F2(z)a1,a2为常数。2、移序性质若:f(k)F(z)0)()()()()()(10nzFznknkfzkfzzFznk
6、fnnkknn则:现在学习的是第14页,共61页3、尺度变换若:f(k)F(z)()(azFkfak则:例如:vzzvzvzkvk1)/(/)(4、时域线性加权和Z域的微分若:f(k)F(z)则:dzzdFzkkf)()(现在学习的是第15页,共61页1)(zzk2)1()1()(zzzzdzdzkk322)1()1()1()(zzzzzdzdzkk例如已知 则:所以,这个性质也可以重复使用。现在学习的是第16页,共61页5、卷积定理若:f1(k)F1(z),f2(k)F2(z)则:f1(k)*f2(k)F1(z).F2(z)6、初值定理和终值定理若:f(k)F(z)则:)(lim)0(zFf
7、z若F(z)的所有极点位于单位圆内或在z=1处有一个一阶极点。则:)()1(lim)(1zFzfz现在学习的是第17页,共61页例2:)()0(1)(ffzzzF和求例3:)2()21()(1kkkfk求F(z)例4:已知f(k)求F(z)。kNkNkNNkkkf其它02120)(例1:)()0()12)(1()(2ffzzzzF和求现在学习的是第18页,共61页2(2)1zkzz2121(2)(1)(1)dzkkzdzz zz z 2141()2(2)2(21)kzf kkkzz现在学习的是第19页,共61页设N=3则可画出f(k)的图形为一三角形序列。而三角形序列为两个矩形序列卷积的结果。
8、*现在学习的是第20页,共61页f(k)=y(k-1),而 Y(z)=F1(z)F2(z)1(111)()(111021zzzzzzzFzFNNNNkk222)11(1)(zzzzYNN2121)11(1)()(zzzzYzzFNN|z|0 现在学习的是第21页,共61页部分分式展开法部分分式展开法)()()(zDzNzFv1,v2,.,vn。也称F(z)的n个极点。设D(z)=0有n个单根则:)()()(zzDzNzzF0,v1,v2,.,vn。展开为部分分式:有n+1个极点8.3 反反Z变换变换现在学习的是第22页,共61页nnrrvzBvzBvzBzBzzF110)(nnrrvzzBvz
9、zBvzzBBzF110)()()()()(110kvBkvBkBkfknnk也可将极点分为三种不同情况,并记住下面几个简单的公式。现在学习的是第23页,共61页1、单根时)(kvvzzkrr2、n阶重根时)()2()2)(1()!1(1)(1kvnkkkknvzznkn3、v,v*为一对共轭复根时)()cos(2*kkvrvzzAvzzAvk)()!1(!)!1(11kvnkknnk或者现在学习的是第24页,共61页例1:220.5()0.50.5zF zzz求右边序列f(k)。解:()20.5112(1)(0.5)10.5F zzzz zzzzz2()110.5zzF zzz()()12(
10、0.5)()kf kkkvjjevverA其中:现在学习的是第25页,共61页1()1(0.5)(1)kf kk 120.511()(1)(0.5)10.510.5zF zzzzzzzzzz12(0.5)(1)kk现在学习的是第26页,共61页例1:32)5.0(5.0)(zzzzF求右边序列f(k)。解:233)5.0(1)5.0(1)5.0(5.0)(zzzzzzF23)5.0()5.0()(zzzzzF)()5.0()()5.0)(1(21)(12kkkkkkfkk)()5.0()()5.0(2122kkkkkk现在学习的是第27页,共61页例:1|1222)(22zzzzzzF求f(k
11、)。解:42,1)1(21jejv4*14121222)(jjezAezAzzzzzF1)()(441jezjzzFezA现在学习的是第28页,共61页44)(jjezzezzzF0,1145,1|14541rAveevvjj)()4cos()1(2)()45cos(2)()cos(2)(kkkkkkvrkfkvk现在学习的是第29页,共61页对于一对共轭复根也可将它保持整体处理,这时我们可以使用正弦序列和余弦序列的变换对。1cos2sin)()sin(2TzzTzkkT1cos2)cos()()cos(2TzzTzzkkT1)22(2)22(21222)(222zzzzzzzzzF现在学习的
12、是第30页,共61页4322cosTT)()4cos()1(2)()43cos(2)(kkkkkfk又如:22222222()21222()12()122z zzzF zzzzzzz2cossin24TTT()cos()sin()()2cos()4444f kkkkkk现在学习的是第31页,共61页8.5 离散时间系统的离散时间系统的Z变换分析法变换分析法与拉普拉斯变换一样Z变换是求解差分方程的工具。一、直接求解一、直接求解例1:已知系统的差分方程为)1(2)2(7)(1.0)1(7.0)2(kekekykyky系统的激励和初始条件为:4)1(,2)0(,)()(ziziyykke求全响应。现
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