2022年大学高等数学知识点 .pdf
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1、大学高等数学知识点整理公式,用法合集极限与连续一.数列函数:1.类型:(1)数列:*()naf n;*1()nnaf a(2)初等函数:(3)分段函数:*0102()(),()xxf xF xxxfx;*00()(),xxf xF xxxa;*(4)复合(含f)函数:(),()yf uux(5)隐式(方程):(,)0F x y(6)参式(数一,二):()()xx tyy t(7)变限积分函数:()(,)xaF xf x t dt(8)级数和函数(数一,三):0(),nnnS xa xx2.特征(几何):(1)单调性与有界性(判别);()f x单调000,()()()xxxf xf x定号)(2
2、)奇偶性与周期性(应用).3.反函数与直接函数:11()()()yf xxfyyfx二.极限性质:1.类型:*limnna;*lim()xfx(含x);*0lim()xxf x(含0 xx)2.无穷小与无穷大(注:无穷量):3.未定型:000,1,0,0,04.性质:*有界性,*保号性,*归并性三.常用结论:11nn,1(0)1naa,1()m ax(,)nnnnabca b c,00!naan名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页,共 23 页 -1(0)xx,0lim1xxx,l i m0nxxxe,lnlim0nxxx,0l i ml n0nxxx,0,xxex四.必备
3、公式:1.等价无穷小:当()0u x时,s i n()()u xu x;tan()()u xu x;211cos()()2u xux;()1()u xeu x;ln(1()()u xu x;(1()1()u xu x;ar c si n()(u xu x;arctan()()u xu x2.泰勒公式:(1)2211()2!xexxo x;(2)221ln(1)()2xxxo x;(3)341sin()3!xxxo x;(4)24511cos1()2!4!xxxo x;(5)22(1)(1)1()2!xxxo x.五.常规方法:前提:(1)准确判断0,1,0M(其它如:00,0,0,);(2)变
4、量代换(如:1tx)1.抓大弃小(),2.无穷小与有界量乘积(M)(注:1sin1,xx)3.1处理(其它如:000,)4.左右极限(包括x):(1)1(0)xx;(2)()xex;1(0)xex;(3)分段函数:x,x,max()f x5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:非零因子)6.洛必达法则(1)先”处理”,后法则(00最后方法);(注意对比:1lnlim1xxxx与0lnlim1xxxx)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页,共 23 页 -(2)幂指型处理:()()ln()()v xv xu xu xe(如:1111111(1)xxxxxeeee)(3)含变
5、限积分;(4)不能用与不便用7.泰勒公式(皮亚诺余项):处理和式中的无穷小8.极限函数:()lim(,)nf xF x n(分段函数)六.非常手段1.收敛准则:(1)()lim()nxaf nf x(2)双边夹:*?nnnbac,*,?nnb ca(3)单边挤:1()nnaf a*21?aa*?naM*()0?fx2.导数定义(洛必达?):00l i m()xffxx3.积分和:10112l i m()()()()nnffffx d xnnnn,4.中值定理:lim()()lim()xxfxaf xaf5.级数和(数一三):(1)1nna收敛lim0nna,(如2!limnnnnn)(2)12
6、1lim()nnnnaaaa,(3)na与11()nnnaa同敛散七.常见应用:1.无穷小比较(等价,阶):*(),(0)?nf xkxx(1)(1)()(0)(0)(0)0,(0)nnffffa()()!nnnaaf xxxxnn(2)00()xxnf t dtkt dt2.渐近线(含斜):(1)()lim,lim()xxf xabf xaxx()fxaxb(2)()f xaxb,(10 x)3.连续性:(1)间断点判别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数,()fx连续性)八.,a b上连续函数性质名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页,共 23 页 -1.连通性:
7、(,),fa bm M(注:01,“平均”值:0()(1)()()f af bf x)2.介值定理:(附:达布定理)(1)零点存在定理:()()0f a f b0()0f x(根的个数);(2)()0()0 xaf xf x dx.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一.基本概念:1.差商与导数:()fx0()()limxfxxf xx;0()fx000()()limxxf xf xxx(1)0()(0)(0)limxf xffx(注:0()lim(xf xA fx连续)(0)0,(0)ffA)(2)左右导:00(),()fxfx;(3)可导与连续;(在0 x处,x连续不可导;x x可导)
8、2.微分与导数:()()()()()ff xxf xfxxoxdffx dx(1)可微可导;(2)比较,fdf与0的大小比较(图示);二.求导准备:1.基本初等函数求导公式;(注:()f x)2.法则:(1)四则运算;(2)复合法则;(3)反函数1dxdyy三.各类求导(方法步骤):1.定义导:(1)()fa与()x afx;(2)分段函数左右导;(3)0()()limhf xhf xhh(注:00()(),xxF xf xxxa,求:0(),()fxfx及()fx的连续性)2.初等导(公式加法则):(1)()uf g x,求:0()u x(图形题);(2)()()xaF xf t dt,求:
9、()Fx(注:(,),(,),()xbbaaaf x t dtf x t dtf t dt)(3)0102(),()xxfxyxxfx,求00(),()fxfx及0()fx(待定系数)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页,共 23 页 -3.隐式(,)0f x y)导:22,dyd ydxdx(1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性).(3)对数求导法.4.参式导(数一,二):()()xx tyy t,求:22,dyd ydxdx5.高阶导()()nfx公式:()()axnnaxea e;()11!()()nnnb nabxabx;()(sin)sin()2nna
10、xaaxn;()(cos)cos()2nnaxaaxn()()1(1)2(2)()nnnnnnuvuvC uvC uv注:()(0)nf与泰勒展式:2012()nnf xaa xa xa x()(0)!nnfan四.各类应用:1.斜率与切线(法线);(区别:()yf x上点0M和过点0M的切线)2.物理:(相对)变化率速度;3.曲率(数一二):23()(1()fxfx(曲率半径,曲率中心,曲率圆)4.边际与弹性(数三):(附:需求,收益,成本,利润)五.单调性与极值(必求导)1.判别(驻点0()0fx):(1)()0()fxf x;()0()fxf x;(2)分段函数的单调性(3)()0fx零
11、点唯一;()0fx驻点唯一(必为极值,最值).2.极值点:(1)表格()fx变号);(由0002()()()lim0,lim0,lim00 xxxxxxfxfxfxxxxx的特点)(2)二阶导(0()0fx)注(1)f与,ff的匹配(f图形中包含的信息);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页,共 23 页 -(2)实例:由()()()()fxx f xg x确定点“0 xx”的特点.(3)闭域上最值(应用例:与定积分几何应用相结合,求最优)3.不等式证明()0f x)(1)区别:*单变量与双变量?*,xa b与,),(,)xax?(2)类型:*0,()0ff a;*0,()
12、0ff b*0,(),()0ff af b;*00()0,()0,()0fxfxf x(3)注意:单调性端点值极值凹凸性.(如:max()()f xMfxM)4.函数的零点个数:单调介值六.凹凸与拐点(必求导!):1.y表格;(0()0fx)2.应用:(1)泰勒估计;(2)f单调;(3)凹凸.七.罗尔定理与辅助函数:(注:最值点必为驻点)1.结论:()()()()0F bF aFf2.辅助函数构造实例:(1)()f()()xaF xf t dt(2)()()()()0()()()fgfgF xf x g x(3)()()()()()0()()fxfgfgF xg x(4)()()()0ff()
13、()()x dxF xef x;3.()()0()nff x有1n个零点(1)()nfx有2个零点4.特例:证明()()nfa的常规方法:令()()()nF xf xP x有1n个零点()nP x待定)5.注:含12,时,分家!(柯西定理)6.附(达布定理):()f x在,a b可导,(),()cfafb,a b,使:()fc八.拉格朗日中值定理1.结论:()()()()f bf afba;()(),()0ab)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页,共 23 页 -2.估计:()ffx九.泰勒公式(连接,fff之间的桥梁)1.结论:2300000011()()()()()(
14、)()()2!3!f xf xfxxxfxxxfxx;2.应用:在已知()f a或()f b值时进行积分估计十.积分中值定理(附:广义):注:有定积分(不含变限)条件时使用 第三讲:一元积分学一.基本概念:1.原函数()F x:(1)()()Fxf x;(2)()()f x dxdF x;(3)()()f x dxF xc注(1)()()xaF xf t dt(连续不一定可导);(2)()()()()xxaaxt f t dtf t dtf x()f x连续)2.不定积分性质:(1)()()f x dxf x;()()df x dxf x dx(2)()()fx dxf xc;()()d fx
15、fxc二.不定积分常规方法1.熟悉基本积分公式2.基本方法:拆(线性性)1212()()()()k fxk gxd xkfx d xkg x d x3.凑微法(基础):要求巧,简,活(221sincosxx)如:211(),ln,2dxdxd axbxdxdxdxax2dxdxx221,(1ln)(ln)1xdxdxx dxd xxx4.变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):1sin,1xxtaxbttetx(2)作用与引伸(化简):21xxt名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页,共 23 页 -5.分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln,arct
16、an,()xaxxf t dt);(2)“反对幂三指”:,ln,naxnx e dxxxdx(3)特别:()xf x dx(*已知()f x的原函数为()F x;*已知()()fxF x)6.特例:(1)11sincossincosaxbxdxaxbx;(2)(),()sinkxp x e dxp xaxdx快速法;(3)()()nv xdxux三.定积分:1.概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界,充分条件:连续)(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*220(0)8aaxx dx aa;*()02baabxdx(3)附:()()baf x dxM ba,()()()bba
17、af x g x dxMg x dx)(4)定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重2:变限积分()()xaxf t dt的处理(重点)(1)f可积连续,f连续可导(2)()xaf t dt()f x;()()()xxaaxt f t dtf t dt;()()()xaf x dtxa f x(3)由函数()()xaF xf t dt参与的求导,极限,极值,积分(方程)问题3.NL公式:()()()baf x dxF bF a()F x在,a b上必须连续!)注:(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性(2)有理式,三角式,根式(3)含()baf t dt的方程.4.变量代换:()()()ba
18、fx d xfu tut d t(1)00()()()aaf x dxf ax dx xat,(2)0()()()()()aaaaaf x dxfx dx xtf xfx dx(如:4411 sindxx)(3)2201sinnnnnIxdxIn,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页,共 23 页 -(4)2200(sin)(cos)fx dxfx dx;200(sin)2(sin)fx dxfx dx,(5)00(sin)(sin)2xfx dxfx dx,5.分部积分(1)准备时“凑常数”(2)已知()fx或()xaf x时,求()baf x dx6.附:三角函数系的正
19、交性:222000si nc o ssi nc o s0n x d xnx d xn xmx d x2200sinsincoscos()0nxmxdxnxmxdx nm222200sincosnxdxnxdx四.反常积分:1.类型:(1)(),(),()aaf x dxf x dxf x dx()f x连续)(2)()baf x dx:()fx在,()xaxbxc acb处为无穷间断)2.敛散;3.计算:积分法NL公式极限(可换元与分部)4.特例:(1)11pdxx;(2)101pdxx五.应用:(柱体侧面积除外)1.面积,(1)()();baSf xg x dx(2)1()dcSfy dy;
20、(3)21()2Srd;(4)侧面积:22()1()baSf xfx dx2.体积:(1)22()()bxaVfxgx dx;(2)12()2()dbycaVfydyxf x dx(3)0 x xV与0yyV3.弧长:22()()dsdxdy(1)(),yf xxa b21()basfx d x(2)12(),()xx ttt tyy t2122()()ttsxtyt dt名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页,共 23 页 -(3)(),rr:22()()srrd4.物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5.平均值(中值定理):(1)1,()baf a bf x dxba
21、;(2)0()0)limxxf t dtfx,(f以T为周期:0()Tf t dtfT)第四讲:微分方程一.基本概念1.常识:通解,初值问题与特解(注:应用题中的隐含条件)2.变换方程:(1)令()xx tyDy(如欧拉方程)(2)令(,)(,)uu x yyy x uy(如伯努利方程)3.建立方程(应用题)的能力二.一阶方程:1.形式:(1)(,)yf x y;(2)(,)(,)0Mx y dxN x y dy;(3)()y ab2.变量分离型:()()yf x g y(1)解法:()()()()dyf x dxG yF xCg y(2)“偏”微分方程:(,)zf x yx;3.一阶线性(重
22、点):()()yp x yq x(1)解法(积分因子法):00()01()()()()xxp x dxxxM xeyM x q x dxyM x(2)变化:()()xp y xq y;(3)推广:伯努利(数一)()()yp x yq x y4.齐次方程:()yyx(1)解法:(),()ydudxuuxuuxuux名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页,共 23 页 -(2)特例:111222a xb ycdydxa xb yc5.全微分方程(数一):(,)(,)0Mx y dxN x y dy且NMxydUMdxNdyUC6.一阶差分方程(数三):1*0()()xxxxxn
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