矩阵与矩阵的标准形.ppt
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1、矩阵与矩阵的标准形现在学习的是第1页,共111页为多项式矩阵或为多项式矩阵或 矩阵。矩阵。定义定义 如果 矩阵 中有一个 阶 子式不为零,而所有 阶子式(如果有的话)全为零,则称 的秩为 ,记为零矩阵的秩为0。定义定义 一个 阶 矩阵称为可逆的,如果有一个 阶 矩阵 ,满足这里 是 阶单位矩阵。称为 矩阵的逆矩阵,记为 。()Ar(1)r 1r()Arrank()Arnn()B()()()()ABBAEEn()B()A1()A现在学习的是第2页,共111页定理定理 一个 阶 矩阵 可逆的充要必要是 一个非零的常数。定义 下列各种类型的变换,叫做 矩阵的初等变换:矩阵的任二行(列)互换位置;非零
2、常数 乘矩阵的某一行(列);矩阵的某一行(列)的 倍加到另一行(列)上去,其中 是 的一个多项式。对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种 矩阵得初等矩阵 n()Adet()Ac()(,),(),(,()P i j P i cP i j()现在学习的是第3页,共111页定理定理 对一个 的 矩阵 的行作初等行变换,相当于用相应的 阶初等矩阵左乘 。对 的列作初等列变换,相当于用相应的 阶初等矩阵右乘 。定义定义 如果 经过有限次的初等变换之后变成 ,则称 与 等价,记之为mn()Am()A()A()An()A()A()B()()AB()B定理定理 与 等价的充要条件是存在两个可逆矩阵
3、 与 ,使得()A()B()P()Q()()()()BPAQ现在学习的是第4页,共111页 矩阵矩阵Smith标准形的存在性标准形的存在性 定定 理理 任意一个非零的 型的 矩阵都等价于一个对角形矩阵对角形矩阵,即mn12()()()()00rddAd 现在学习的是第5页,共111页其中 是首项系数为1的多项式且称这种形式的 矩阵为 的Smith标准形。称为 的不变因子。1,()ird1()()(1,2,1)iiddir()A12(),(),()rddd()A例 122221()1A将其化成Smith标准形。现在学习的是第6页,共111页2222222223232432432110()1110
4、1000000A解:现在学习的是第7页,共111页32322432100100000001000000(1)现在学习的是第8页,共111页例 22(1)()(1)A 将其化成Smith标准形。2(1)()(1)A 解:现在学习的是第9页,共111页2(1)(1)(1)(2)1 现在学习的是第10页,共111页32222(1)2021(1)(1)11(1)(1)现在学习的是第11页,共111页例 3将其化为Smith标准形。222223232123()4353234421A22222421()32321234353234A解:现在学习的是第12页,共111页2222222242143733344
5、3532344214373334210现在学习的是第13页,共111页22222221042143733341202413343734现在学习的是第14页,共111页2222221200104313410001043134现在学习的是第15页,共111页2222321000103443110001001现在学习的是第16页,共111页32210001000110001000(1)(1)现在学习的是第17页,共111页将其化为Smith标准形。例 411()1aaAaa100010()001000aaAaa解:现在学习的是第18页,共111页221000()1000100010000()1000
6、1000aaaaaaa现在学习的是第19页,共111页223100001()0001000100001()000()1000aaaaaa现在学习的是第20页,共111页331000010000()100010000100001()000aaaa现在学习的是第21页,共111页4100001000010000()a矩阵标准形的唯一性定定 义义:为一个为一个 矩阵且矩阵且 对于对于任意的正整数任意的正整数 ,必有非零的必有非零的 阶子式,阶子式,的全部的全部 阶子式的最大公因式阶子式的最大公因式 称为称为 的的 阶阶行列式因子行列式因子。()A()rank Ark1kr()Ak()Ak()kD()
7、Ak现在学习的是第22页,共111页显然,如果 ,则行列式因子一共有 个。例 1 求的各阶行列式因子。解:()rank Arr22221()1A现在学习的是第23页,共111页由于 ,所以 。显然 而且其余的7各2 阶子式也都包含 作为公因子,所以另外(1,)1 1()1D2222321(1)()1(1)()1fg(),()fg32323()()AD 2()D现在学习的是第24页,共111页注意:观察 三者之间的关系。定理:等价(相抵)矩阵有相同的各阶行列式因子从而有相同的秩。设 矩阵 的Smith标准形为123(),(),()DDD()A现在学习的是第25页,共111页12()()()()0
8、0rddAd容易计算上面的标准形的各阶行列式因子为现在学习的是第26页,共111页1121212()()()()()()()()()rrDdDddDddd显然有:112211()()()()()()()()rrrdDDdDDdD现在学习的是第27页,共111页由于 与上面的Smith标准形具有相同的各阶行列式因子,所以 的各阶行列式因子为而又是由这些行列式因子唯一确定的,于是我们得到定 理:的Smith标准形是唯一的。例 1 求下列 矩阵的Smith标准形。()A()A12(),(),()rDDD12(),(),()rddd()A现在学习的是第28页,共111页2222121000000(1)
9、0(1)00000(2)nacacaca现在学习的是第29页,共111页00120120(3)12002000解:(1)容易计算出12224434()1,()(1)()(1),()(1)DDDD 122234()1,()(1),()(1),()(1)dddd 现在学习的是第30页,共111页221(1)()(1)(1)A (2)首先观察此矩阵的元素排列规律,显然下面看 阶行列式因子。有一个阶子式要注意,即()()nnDa1n 1n 现在学习的是第31页,共111页121 211nncacc ccac容易计算出 从而 121121()()()1()1,()1,()1,()()nnnnDDDddd
10、da1()1nD现在学习的是第32页,共111页111()na现在学习的是第33页,共111页(3)4111(2)定理定理 矩阵 与 等价的充要条件是对于任何的 ,它们的 阶行列式因子相同。定理定理 矩阵 与 等价的充要条件是 与 有相同的不变因子。()A()Bkk()A()B()B()A现在学习的是第34页,共111页与一般的数字矩阵一样,我们有下面的推论:推论 矩阵 可逆的充要条件为 与单位矩阵等价。推论 矩阵 可逆的充要条件为 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。()A()A()A()A现在学习的是第35页,共111页初等因子和矩阵的相似初等因子和矩阵的相似设 矩阵 的不变因子为在复数域内将
11、它们分解成一次因式的幂的乘积:()A12(),(),()rddd 11112221221211221212()()()()()()()()()ssrsrreeeseeeseeersddd现在学习的是第36页,共111页其中 是互异的复数,是非负整数。因为 ,所以满足如下关系1,sije1|()(1,1)iiddir112111222212000rrssrseeeeeeeee定义 在上式中,所以指数大于零的因子称为 矩阵 的初等因子()A(),0,1,1,ijejijeir js现在学习的是第37页,共111页例 如果 矩阵 的不变因子为()A 1222323341(1)(1)(1)(1)(1)
12、(2)dddd 则 的初等因子为()A2,1,2323(1),(1),(1),(1),(2)现在学习的是第38页,共111页例 如果 矩阵 的秩为4,其初等因子为()A5 62233,1,(1),(1),()i 3()i求 的Smith标准形。()A解:首先求出 的不变因子()A 233342321(1)()()(1)(1)1diiddd 现在学习的是第39页,共111页从而 的Smith标准形为定理 阶 矩阵 与 等价的充要条件是它们有相同的秩且有相同的初等因子。()A223231000000(1)0000()00(1)000000(1)(1)00000000A n()A()B现在学习的是第
13、40页,共111页定理 设 矩阵为准对角形矩阵,则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。此定理也可推广成如下形式:()()()BAC()B()C()A现在学习的是第41页,共111页定理 若 矩阵则 各个初等因子的全体就是 的全部初等因子。12()()()()tAAAA12(),(),()tAAA()A现在学习的是第42页,共111页例 1 求 矩阵的初等因子,不变因子与标准形。解:记22000000()00(1)10022A21223(),(),(1)1()22AAA现在学习的是第43页,共111页那么对于 ,其初等因子为 由上面的定理可知 的初等因子为因为 的秩为4,故 的不变因子为1
14、23()00()0()000()AAAA3()A,1,1()A,1,1,1 ()A()A现在学习的是第44页,共111页 4321(1)(1),(1),1dddd 因此 的Smith标准形为()A1000000()00(1)0000(1)(1)A 现在学习的是第45页,共111页例 2 判断下面两个 矩阵是否等价?22223141()1122A22122()2232211B现在学习的是第46页,共111页例 3 求下面 矩阵不变因子1000100015432现在学习的是第47页,共111页例 4 求下列 矩阵的行列式 因子与不变因子121001000001nnaaaa现在学习的是第48页,共1
15、11页数字矩阵的相似与 矩阵的等价定理:设 是两个 阶的数字矩阵,那么 与 相似的充分必要条件为它们的特征矩阵 与等价。定义:对于数字矩阵 ,我们称 的不变因子为 的不变因子,称 的初等因子为 的初等因子。,A BnABIAIBAIAAIAA现在学习的是第49页,共111页 对于任何一个数字矩阵 所以 ,于是可得下面两个定理定理:两个同阶的方阵 相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。定理:两个同阶的方阵 相似的充分必要条件是它们有相同的行列式因子(或不变因子)。例 设 ,证明:,A B,A B,AIAn()rankIAn0现在学习的是第50页,共111页(1)阶矩阵与11aaAanaaBa
16、现在学习的是第51页,共111页相似;(2)阶矩阵与n11aaAa现在学习的是第52页,共111页不相似。矩阵的Jordan标准形定义:称 阶矩阵11aaBan现在学习的是第53页,共111页为Jordan块。设 为Jordan块,称准对角形矩阵111iiiiiinnaaJa 12,sJ JJ现在学习的是第54页,共111页为Jordan标准形矩阵。由前面的例题和定理可知Jordan块的初等因子为,从而Jordan标准形矩阵的初等因子为12sJJJJ()inia1212(),(),()snnnsaaa现在学习的是第55页,共111页于是可以得到下面的定理定理:设 的初等因子为则,这里,n nA
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