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1、第 5 讲 弃九法从第 4 讲知道,如果一个数的各个数位上的数字之和能被9 整除,那么这个数能被9 整除;如果一个数各个数位上的数字之和被 9 除余数是几,那么这个数被 9 除的余数也一定是几。利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9 整除或者求出被9 除的余数是几。例如,3645732 这个数,各个数位上的数字之和为364573230,30 被 9 除余 3,所以 3645732 这个数不能被 9 整除,且被 9 除后余数为 3。但是,当一个数的数位较多时,这种计算麻烦且易错。有没有更简便的方法呢?因为我们只是判断这个式子被9 除的余数,所以凡是若干个数的和是 9 时,就把这些数划掉,如36
2、9,459,729,把这些数划掉后,最多只剩下一个3(如下图),所以这个数除以 9 的余数是 3。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页,共 6 页 -这种将和为 9 或 9 的倍数的数字划掉,用剩下的数字和求除以 9 的余数的方法,叫做弃九法。一个数被 9 除的余数叫做这个数的 九余数。利用弃九法可以计算一个数的九余数,还可以检验四则运算的正确性。例 1 求多位数 7645821369815436715除以 9 的余数。分析与解:利用弃九法,将和为9 的数依次划掉。只剩下 7,6,1,5 四个数,这时口算一下即可。口算知,7,6,5 的和是 9 的倍数,又可划掉,只剩下1。
3、所以这个多位数除以 9 余 1。例 2 将自然数 1,2,3,依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213 如果一直写到自然数100,那么所得的数除以 9 的余数是多少?分析与解:因为这个数太大,全部写出来很麻烦,在使用弃九法时不能逐个划掉和为9 或 9 的倍数的数,所以要配合适当的分析。我们已经熟知123945,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页,共 6 页 -而 45 是 9 的倍数,所以每一组1,2,3,9 都可以划掉。在 199 这九十九个数中,个位数有十组1,2,3,9,都可划掉;十位数也有十组1,2,3,9,也都划掉。这样在这个大数中,除了0
4、以外,只剩下最后的100 中的数字1。所以这个数除以9 余 1。在上面的解法中,并没有计算出这个数各个数位上的数字和,而是利用弃九法分析求解。本题还有其它简捷的解法。因为一个数与它的各个数位上的数字之和除以9 的余数相同,所以题中这个数各个数位上的数字之和,与 12100 除以9 的余数相同。利用高斯求和法,知此和是5050。因为 5050 的数字和为5050=10,利用弃九法,弃去一个 9 余 1,故 5050 除以9 余 1。因此题中的数除以9 余 1。例 3 检验下面的加法算式是否正确:2638457 3521983 6745785 12907225。分析与解:若干个加数的九余数相加,所
5、得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果不等,那么这个加法算式肯定不正确。上式中,三个加数的九余数依次为8,4,6,8+4+6的九余数为 0;和的九余数为 1。因为 01,所以这个算式不正确。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页,共 6 页 -例 4 检验下面的减法算式是否正确:7832145-2167953 5664192。分析与解:被减数的九余数减去减数的九余数(若不够减,可在被减数的九余数上加9,然后再减)应当等于差的九余数。如果不等,那么这个减法计算肯定不正确。上式中被减数的九余数是 3,减数的九余数是6,由(9+3)-66 知,原题等号左边的九余数是 6。等
6、号右边的九余数也是6。因为 66,所以这个减法运算可能正确。值得注意的是,这里我们用的是“可能正确”。利用弃九法检验加法、减法、乘法(见例5)运算的结果是否正确时,如果等号两边的九余数不相等,那么这个算式肯定不正确;如果等号两边的九余数相等,那么还不能确定算式是否正确,因为九余数只有 0,1,2,8 九种情况,不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运算的正确性,只是一种粗略的检验。例 5 检验下面的乘法算式是否正确:468769537447156412。分析与解:两个因数的九余数相乘,所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。如果不等,那么这个乘法计算肯名师资料总结-精品资料欢迎下
7、载-名师精心整理-第 4 页,共 6 页 -定不正确。上式中,被乘数的九余数是4,乘数的九余数是6,4 624,24 的九余数是 6。乘积的九余数是7。67,所以这个算式不正确。说明:因为除法是乘法的逆运算,被除数=除数 商+余数,所以当余数为零时,利用弃九法验算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如,检验383801253=1517 的正确性,只需检验1517253=383801 的正确性。练习 51求下列各数除以9 的余数:(1)7468251;(2)36298745;(3)2657348;(4)6678254193。2求下列各式除以9 的余数:(1)67235 82564;(2)97256-47823;(3)27836451;(4)3477+265841。3用弃九法检验下列各题计算的正确性:(1)22822250616;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页,共 6 页 -(2)334336112224;(3)2337242862363748;(4)123456789 83810105。4有一个 2000 位的数 A 能被 9 整除,数 A 的各个数位上的数字之和是 B,数 B 的各个数位上的数字之和是C,数 C的各个数位上的数字之和是D。求 D。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页,共 6 页 -
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