4质数算术基本定理.pdf
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1、4 质数算术基本定理一、教学目标:通过本节内容的学习,达到以下教学目标与要求:一级目标:掌握算术基本定理;二级目标:掌握质数和合数的概念。二、教学内容和重、难点:1.1.质数和合数2.2.算术基本定理33标准分解式重点:算术基本定理难点:算术基本定理的证明三、教学方法和教具使用:讲授法。四、教学过程:定义 如果一个大于 1 1 的整数的正因数只有 1 1 和它本身,那么就把这个整数叫做质数则就叫合数 定理 1 1 设a是任何一个大于 1 1 的整数,贝Ua的除 1 1 以外的最小正因数q是质数,且当a是合数时,证 假设q不是质数,由质数的定义得,否q除 1 1 和它本身外还有一个正因数q1,因
2、而1:q:q.但q|a,故q|a,这与q是a的最小正因数矛盾 故q是质数 当a是合数时,a ncq,且1-a1,故anaQ _q,q一.a.2定理 2 2 若p是一质数,a为任一整数,则p|a或p,a=1.证因p,a|p,p为质数,故p,a=1或p,a二p.而当p,a=1时,p|a,故p,a=1或p|a.推论 2/2/设a,a2,IH,an是n个整数,p是质数.若p|a1al an,则p整除某个ak.证若p/aj=1,2,|H,n,则p,a=1,i=1,2|,n于是 卩,时2|咼=1,这与PlaiaJHan矛盾.定理3(算术基本定理)任意大于 1 1 的整数都能表示成质数的乘积,有即对任一整数
3、a 1,a二PiP2|Pn,Pi乞P2-|1|-Pn其中5,卩2,川,Pn是质数,并且若(1 1)a川qm,q“2川-qm(2 2)其中qq,川,qm是质数,则m=n,q=P,i=1,2川1,n.证首先用数学归纳法证明(1 1)式成立.当a=2=2 时,显然(1 1)式成立.假设对于一切小于a的正整数(1 1)式成立.下面根据此归纳假推出(1 1)式对正整数a也成立.当a为质数时,显然(1 1)式成立.当a为合数时,存在两个正整数b,c满足条件由归纳假设,b和c都分别能表示为质数的乘积,故立.其次,证明表示的唯一性.若对a同时有(1 1),(2 2)两式成立,则a能表示成质数的乘积,即(1 1
4、)式成P1P2HlPn=qq2lliqm(3)由定理 3 3 知,分别有质数Pk,qj使得P1|qj,cn|Pk.但qj,pk都是质数,故p=qj,q=Pk.又Pk-P1,qj-q,故同时有q-山和P1-q,因而q=由(3)式得P2HlPn=qJUqn.同理可得q2二P2,q3=P3H,依此类推下去,最后得m=nq=Pn.推论 3.13.1 任意一个大于 1 1 的整数a都能唯一地表为a二Pi:P2HlPkk/i0,i=1,2,山,k1(4)其中Pi:Pji j是质数.(4 4)叫做a的标准分解式.推论 3.23.2 设a是一个大于 1 1 的整数,且则a的正因数d可以表示为d二 Pi 0Pi
5、 0lHp,:i一 匚0,i=1,2jll,k.2(5 5)且当正整数d可以由上式表示时,d为a的正因数.证设d为a的一个正因数,则当d=1时,d可以表示为d=口0p2丨丨I pk.当d 1时,因d|a,故d的质因数必为a的质因数.而p/p/MHpk1:k,ai0,1,2jll,k,从 而d可以表示为下面证明?_ ai,i=1,2,川,k.因p|d,d|a,故Pi1 1a.但因a=pp?:川p,故p|“乜川p.而(PP,pHlPi严Pi2kk严川Pk)=1,故pP I pa,Pjp兰岸,0 i“i,i=1,2,H,k故a的每个正因数d都可以由(5 5)表示出来.反之,当正整数d可以由(5 5)
6、式表示出来时,显然d为a的一个正因数.附记 如把推论 2 2 中的条件“ai0,i=1,2川|,k”改为“a 2 0,i=1,2,川,k”,结论 仍然成立.推论 3.33.3 设a,b是任意两个正整数,且a二 口乜:|“P:,:i-0,i=1,2|,k,2kkPiP2MHPk,0,i,2,川,k,1k则a,b=P1P2Pk,a,b 1二pjpJH Pk,1kk)其中i二min:,、i二max:,i=1,2,|),k.证 由(6)式易知p1p21|pk为a,b的一个公因数,pjp2111pk为a,b的一个k12k公倍数(其中i=min冷,=max冷,i=1,2,i|l,k).设d为a,b的任意一
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