高等数学多元函数的极值及其求法精选PPT.ppt
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1、高等数学多元函数的极值及其求法1第1页,此课件共40页哦一、一、多元函数的极值多元函数的极值 定义定义:若函数若函数则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).例如例如:在点在点(0,0)有极小值有极小值;在点在点(0,0)有极大值有极大值;在点在点(0,0)无极值无极值.极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.的某邻域内有的某邻域内有2第2页,此课件共40页哦定理定理1(必要条件必要条件)函数函数偏导数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极
2、值取得极值,取得极值取得极值取得极值取得极值且在该点取得极值且在该点取得极值,则有则有存在存在故故3第3页,此课件共40页哦4第4页,此课件共40页哦 仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的的点,均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题:如何判定一个驻点是否为极值点?问题:如何判定一个驻点是否为极值点?注意:注意:5第5页,此课件共40页哦时时,具有极值具有极值定理定理2(充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且且令令则则:1)当当A0 时取极小值时取极小值.2)当当3)当当时时,没
3、有极值没有极值.时时,不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.若函数若函数6第6页,此课件共40页哦7第7页,此课件共40页哦例例1.1.求函数求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0)处处为极小值为极小值;解方程组解方程组的极值的极值.求二阶偏导数求二阶偏导数8第8页,此课件共40页哦在点在点(3,0)处处不是极值不是极值;在点在点(3,2)处处为极大值为极大值.在点在点(1,2)处处不是极值不是极值;9第9页,此课件共40页哦解解10第10页,此课件共40页哦11第11页,此课件共40页哦
4、12第12页,此课件共40页哦二、最值应用问题二、最值应用问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在当区域内部最值存在,且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时,为极小为极小 值值为最小为最小 值值(大大)(大大)依据依据13第13页,此课件共40页哦解解如图如图,14第14页,此课件共40页哦15第15页,此课件共40页哦16第16页,此课件共40页哦解解由由17第17页,此课件共40页哦18第18页,此课件共40页哦 对于实际问题可根据实际问题的意义判断
5、最大值和最小值的对于实际问题可根据实际问题的意义判断最大值和最小值的存在性。存在性。例例5 5某公司在生产中使用甲、两种原料某公司在生产中使用甲、两种原料,已知甲和乙两种已知甲和乙两种原料分别使用原料分别使用x x单位和单位和y y单位可生产单位可生产Q Q单位的产品,且单位的产品,且已知甲原料单价为已知甲原料单价为2020元元/单位,乙原料单价为单位,乙原料单价为3030元元/单位,单位,产品每单位售价为产品每单位售价为100100元,产品固定成本为元,产品固定成本为10001000元,求该元,求该公司的最大利润。公司的最大利润。解解 利润函数利润函数为为19第19页,此课件共40页哦(利润
6、函数)(利润函数)解方程组解方程组求得唯一驻点(求得唯一驻点(5 5,8 8)所以所以 在(在(5 5,8 8)取得极大值)取得极大值20第20页,此课件共40页哦无条件极值:无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,并无其他条件对自变量除了限制在定义域内外,并无其他条件.21第21页,此课件共40页哦三、条件极值三、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:条件极值的求法条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件
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