高二数学必修五第一章解三角形教案).docx
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1、高二数学必修五第一章解三角形教案)解斜三角形 5.4解斜三角形 学问梳理1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即=.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题.(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角)2.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即a2=b2+c22bccosA;b2=c2+a22cacosB;c2=a2+b22abcosC.在余弦定理中,令C=90,这时cosC=0,所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由可
2、得cosA=;cosB=;cosC=.利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.特殊提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必需引起足够的重视,通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来,用向量方法证明两定理,突出了向量的工具性,是向量学问应用的实例.另外,解三角形问题可能出现一解、两解或无解的状况,这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.点击双基1.在ABC中,若2cosBsinA=sinC,则ABC的形态肯定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析:由2cosBsin
3、A=sinC得a=c,a=b.答案:C2.下列条件中,ABC是锐角三角形的是A.sinA+cosA=B.0C.tanA+tanB+tanC0D.b=3,c=3,B=30解析:由sinA+cosA=得2sinAcosA=0,A为钝角.由0,得0,cos,0.B为钝角.由tanA+tanB+tanC0,得tan(A+B)(1tanAtanB)+tanC0.tanAtanBtanC0,A、B、C都为锐角.由=,得sinC=,C=或.答案:C3.ABC中,a、b、c分别为A、B、C的对边,假如a、b、c成等差数列,B=30,ABC的面积为,那么b等于A.B.1+C.D.2+解析:a、b、c成等差数列,
4、2b=a+c.平方得a2+c2=4b22ac.又ABC的面积为,且B=30,故由SABC=acsinB=acsin30=ac=,得ac=6.a2+c2=4b212.由余弦定理,得cosB=,解得b2=4+2.又b为边长,b=1+.答案:B4.已知(a+b+c)(b+ca)=3bc,则A=_.解析:由已知得(b+c)2a2=3bc,b2+c2a2=bc.=.A=.答案:5.在锐角ABC中,边长a=1,b=2,则边长c的取值范围是_.解析:若c是最大边,则cosC0.0,c.又cba=1,1c.答案:(1,)典例剖析【例1】ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,假如a2=b(b+c),
5、求证:A=2B.剖析:探讨三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边.证明:用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a2=b(b+c)中,得sin2A=sinB(sinB+sinC)sin2Asin2B=sinBsinC=sinBsin(A+B)(cos2Bcos2A)=sinBsin(A+B)sin(A+B)sin(AB)=sinBsin(A+B),因为A、B、C为三角形的三内角,所以sin(A+B)0.所以sin(AB)=sinB.所以只能有AB=B,即A=2B.评述:利用正弦定理,将命题中边的关系转化为角间关系,从而全部利用三角公式变换求解.思索探讨(
6、1)该题若用余弦定理如何解决?解:利用余弦定理,由a2=b(b+c),得cosA=,cos2B=2cos2B1=2()21=1=.所以cosA=cos2B.因为A、B是ABC的内角,所以A=2B.(2)该题依据命题特征,能否构造一个符合条件的三角形,利用几何学问解决?解:由题设a2=b(b+c),得=,作出ABC,延长CA到D,使AD=AB=c,连结BD.式表示的即是=,所以BCDABC.所以1=D.又AB=AD,可知2=D,所以1=2.因为BAC=2+D=22=21,所以A=2B.评述:近几年的高考题中,涉及到三角形的题目,重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷
7、.【例2】已知锐角ABC中,sin(A+B)=,sin(AB)=.(1)求证:tanA=2tanB;(2)设AB=3,求AB边上的高.剖析:有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以(1)为铺垫,解决(2).(1)证明:sin(A+B)=,sin(AB)=,=2.tanA=2tanB.(2)解:A+B,sin(A+B)=.tan(A+B)=,即=.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B4tanB1=0,解得tanB=(负值舍去).得tanB=,tanA=2tanB=2+.设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+,所以AB边上的高为2+.评述:
8、本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算实力.【例3】在ABC中,a、b、c分别是A、B、C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2c2=acbc,求A的大小及的值.剖析:因给出的是a、b、c之间的等量关系,要求A,需找A与三边的关系,故可用余弦定理.由b2=ac可变形为=a,再用正弦定理可求的值.解法一:a、b、c成等比数列,b2=ac.又a2c2=acbc,b2+c2a2=bc.在ABC中,由余弦定理得cosA=,A=60.在ABC中,由正弦定理得sinB=,b2=ac,A=60,=sin60=.解法二:在ABC中,由面积公式得bcsinA=acsinB.b2=ac
9、,A=60,bcsinA=b2sinB.=sinA=.评述:解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理.闯关训练夯实基础1.在ABC中,“A30”是“sinA”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:在ABC中,A300sinA1sinA;sinA30A150A30.答案:B2.如图,ABC是简易遮阳棚,A、B是南北方向上两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面成40角,为了使遮阴影面ABD面积最大,遮阳棚ABC与地面所成的角为A.75B.60C.50D.45解析:作CE平面ABD于E,则CDE是太阳光线与地面所
10、成的角,即CDE=40,延长DE交直线AB于F,连结CF,则CFD是遮阳棚与地面所成的角,设为.要使SABD最大,只需DF最大.在CFD中,=.DF=.CF为定值,当=50时,DF最大.答案:C3.在ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积S=(a2+b2c2),则C的度数是_.解析:由S=(a2+b2c2)得absinC=2abcosC.tanC=1.C=.答案:454.在ABC中,若C=60,则=_.解析:=.(*)C=60,a2+b2c2=2abcosC=ab.a2+b2=ab+c2.代入(*)式得=1.答案:15.在ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是A.
11、b=20,A=45,C=80B.a=30,c=28,B=60C.a=14,b=16,A=45D.a=12,c=15,A=120解析:由a=14,b=16,A=45及正弦定理,得=,所以sinB=.因而B有两值.答案:C培育实力6.在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,依次成等比数列,求y=的取值范围.解:b2=ac,cosB=(+).0B,y=sinB+cosB=sin(B+).B+,sin(B+)1.故1y.7.已知ABC中,2(sin2Asin2C)=(ab)sinB,外接圆半径为.(1)求C;(2)求ABC面积的最大值.解:(1)由2(sin2Asin2C)=(ab)sinB
12、得2()=(ab).又R=,a2c2=abb2.a2+b2c2=ab.cosC=.又0C180,C=60.(2)S=absinC=ab=2sinAsinB=2sinAsin(120A)=2sinA(sin120cosAcos120sinA)=3sinAcosA+sin2A=sin2Asin2Acos2A+=sin(2A30)+.当2A=120,即A=60时,Smax=.8.在ABC中,BC=a,顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动,求的取值范围.解:令AB=kx,AC=x(k0,x0),则总有sinB=,sinC=(图略),且由正弦定理得sinB=sinA,所以a2=kx2sinBs
13、inC=kx2sinA,由余弦定理,可得cosA=(k+sinA),所以k+=sinA+2cosA=.所以k2k+10,所以k.所以的取值范围为,.探究创新9.某城市有一条马路,自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为10km,问把A、B分别设在马路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)解:在AOB中,设OA=a,OB=b.因为AO为正西方向,OB为东北方向,所以AOB=135.则|AB|2=a2+b22abcos135=a2+b2+ab2ab
14、+ab=(2+)ab,当且仅当a=b时,“=”成立.又O到AB的距离为10,设OAB=,则OBA=45.所以a=,b=,ab=,当且仅当=2230时,“=”成立.所以|AB|2=400(+1)2,当且仅当a=b,=2230时,“=”成立.所以当a=b=10时,|AB|最短,其最短距离为20(+1),即当AB分别在OA、OB上离O点10km处,能使|AB|最短,最短距离为20(1).思悟小结1.在ABC中,A+B+C=,sin=cos,cos=sin,tan=cot.2.A、B、C成等差数列的充分必要条件是B=60.3.在非直角三角形中,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.4
15、.依据所给条件确定三角形的形态,主要有两种途径:化边为角;化角为边.并常用正弦(余弦)定理实施边角转化.5.用正(余)弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时,需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.老师下载中心教学点睛1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段,通过数值计算进一步提高运用计算器的技能技巧和解决实际问题的实力.2.要加大以三角形为背景,以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.拓展题例【例1】已知A、B、C是ABC的三个内角,y=cotA
16、+.(1)若随意交换两个角的位置,y的值是否改变?试证明你的结论.(2)求y的最小值.解:(1)y=cotA+=cotA+=cotA+=cotA+cotB+cotC,随意交换两个角的位置,y的值不改变.(2)cos(BC)1,ycotA+=+2tan=(cot+3tan)=.故当A=B=C=时,ymin=.评述:本题的第(1)问是一道结论开放型题,y的表达式的表面不对称性显示了问题的好玩之处.第(2)问事实上是一道常见题:在ABC中,求证:cotA+cotB+cotC.【例2】在ABC中,sinA=,推断这个三角形的形态.分析:推断一个三角形的形态,可由三个内角的关系确定,亦可由三边的关系确定
17、.采纳后一种方法解答本题,就必需“化角为边”.解:应用正弦定理、余弦定理,可得a=,所以b(a2b2)+c(a2c2)=bc(b+c).所以(b+c)a2=(b3+c3)+bc(b+c).所以a2=b2bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以ABC是直角三角形.评述:恒等变形是学好数学的基本功,变形的方向是关键.若考虑三内角的关系,本题可以从已知条件推出cosA=0. 第1章解三角形复习教案 教学设计整体设计教学分析首先了解新课标对本章的定位解三角形作为三角系列的最终一章,突出了基础性、选择性与时代性本章重在探讨三角形边角之间的数量关系,如正弦定理、余弦定理等正弦定理、余弦定理更深刻地反映
18、了三角形的度量本质,成为解三角形的主要工具本章的数学思想方法是一条看不见的暗线,数学思想方法是数学的精髓在初中,教科书着重从空间形式定性地探讨三角形中线段与角之间的位置关系,本章主要是定量地揭示三角形边、角之间的数量关系,从而较清楚地解决了三角形的确定性问题本章对两个定理的推导引入中非常强调这一量化思想方法,并选择了更有教化价值的正弦定理和余弦定理的证明方法本章中融合了学生已学过的大部分几何学问,将解三角形作为几何度量问题来处理,突出几何背景,为学生理解数学中的量化思想,进一步学习数学奠定了基础三维目标1娴熟驾驭三角形中的边角关系2通过本节学习,要求对全章有一个清楚的相识,娴熟驾驭利用正、余弦
19、定理解斜三角形的方法,明确解斜三角形学问在实际中的广泛应用,娴熟驾驭由实际问题向解斜三角形类型问题的转化,逐步提高数学学问的应用实力3注意思维引导及方法提炼,呈现学生的主体作用,关注情感的主动体验,加强题后反思环节,提升习题效率,激发学生钻研数学的热忱、爱好和信念重点难点教学重点:驾驭正、余弦定理及其推导过程并且能用它们解斜三角形教学难点:正弦定理、余弦定理的敏捷运用,及将实际问题转化为数学问题并正确地解出这个数学问题课时支配1课时教学过程导入新课(干脆引入)本节课我们将对全章的学问、方法进行系统的归纳总结;系统驾驭解三角形的方法与技巧由此绽开新课的探究推动新课新知探究提出问题1本章我们学习了
20、哪些学问内容?请画出本章的学问结构图2解斜三角形要用到正弦定理、余弦定理,那么正弦定理、余弦定理都有哪些应用?3在解三角形时应用两个定理要留意些什么问题?若求一个三角形的角时,既可以用正弦定理,也可以用余弦定理,怎样选择较好?4本章中解三角形的学问主要应用于怎样的一些问题?5总结从初中到中学测量河流宽度和物体高度的方法.活动:老师引导学生画出本章学问框图,老师打出课件演示:从图中我们很清楚地看出本章我们学习了正弦定理、余弦定理以及应用这两个定理解三角形,由于本章内容实践性很强,之后又重点探讨了两个定理在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用老师与学生一起回忆正弦定理、余弦定理的内容及应用如下:
21、正弦定理、余弦定理:asinAbsinBcsinC,a2b2c22bccosA,b2c2a22accosB,c2a2b22abcosC.正弦定理、余弦定理的应用:利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题已知两角和任一边,求其他两边和一角已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题已知三边,求三个角;已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角在求解一个三角形时,既可以用正弦定理,也可以用余弦定理,要尽量选择运算量较小,不产生探讨的方法求解若求边,尽量用正弦定理;若求角,尽量用余弦定理除了正弦定理、余弦定理外,我们还学习
22、了三角形面积公式S12bcsinA12acsinB12absinC,利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积老师利用多媒体投影演示课件如下: 解斜三角形时可用的定理和公式适用类型备注余弦定理a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2b2a22bacosC(1)已知三边(2)已知两边及其夹角类型(1)(2)有解时只有一解正弦定理asinAbsinBcsinC2R(3)已知两角和一边(4)已知两边及其中一边的对角类型(3)在有解时只有一解,类型(4)可有两解、一解和无解三角形面积公式S12bcsinA12acsinB12absinC(5)已知两边及其夹角 老师点拨学生,以上这
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- 数学 必修 第一章 三角形 教案
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