2012版高考数学 3-2-1精品系列 专题08 圆锥曲线 文.doc
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1、2012版高考数学 3-2-1精品系列专题08 圆锥曲线 文 (教师版)【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布2012考纲解读近几年考点分布 圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例,且选择题、填空题和解答题都涉及到,客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法,解答题往往以中档题或以押轴题形式出现,主要考察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容,要求有所降低,估计2012年高考对本讲的考察,仍将以以下题型为主.1求曲线(或轨迹)的方程,对于这类问题,高考常常不给出图形或不
2、给出坐标系,以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力;2与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题,这类问题的综合型较大,解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确的构造不等式或方程,体现了解析几何与其他数学知识的联系。【考点pk】名师考点透析考点一 :求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等.利用待定系数法求出相应的a,b,p等. 1.椭圆的方程以及性质标准方程简 图中心坐标顶点坐标焦点坐标对称轴方程准线方程范围+=1(ab0)O(0,0)A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b)F1(-c,0)F2(c,0)x=0y=0x=|x|a
3、|y|b+=1(ab0)O(0,0)A1(0,-a)A2(0,a)B1(-b,0)B2(b,0)F1(0,-c)F2(0,c)x=0y=0y=|y|a|x|b 2.双曲线的标准方程与几何性质标准方程-=1(a0,b0)-=1(a0,b0)简图中心O(0,0)O(0,0)顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,-a)范围|x|a|y|a焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)准线x=y=渐近线y=xy=x3抛物线的方程以及性质例1设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为4,求此椭圆方
4、程、离心率、准线方程及准线间的距离.【名师点睛】:充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系,在求标准方程时,已知条件常与这些参数有关.考点2:圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质.例2:设F1、F2为椭圆 的两个焦点,P为上一点,已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且PF1PF2,求的值.思路分析:由已知,F1不是直角顶点,所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.解法1:由已知,PF1PF2,PF1PF26,F1F2,若PF2F1为直角,则PF12PF22F1F22,可解得:PF1,PF2,这时.若F2PF1为直角,则PF12PF22F1F22,可解得:PF14,
5、PF22,这时.解法2:由椭圆的对称性,不妨设P(x,y)(其中x0,y0),.若PF2F1为直角,则P(),这时PF1,PF2,这时.若PF2F1为直角,则由,解得:.于是PF14,PF22,这时.【名师点睛】:由椭圆的方程,熟练准确地写出其几何性质(如顶点,焦点,长、短轴长,焦距,离心率,焦半径等)是应对考试必备的基本功;在解法2中设出了P点坐标的前提下,还可利用PF1a+ex,PF2=a-ex来求解.考点3:有圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.1、椭圆的第一定义:我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆
6、的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距. F为直线l外一定点,动点到定直线的距离为d,e为大于1的常数.3、 1.抛物线的定义 平面内到一定点和到一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点为抛物线的焦点,定直线为抛物线的准线.例3:已知某椭圆的焦点F1(4,0),F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B,且10,椭圆上不同两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件F2A,F2B,F2C成等差数列.(1)求该椭圆的方程;(2)求弦AC中点的横坐标.思路分析:因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离,所以可以从椭圆的定义入手.解:(1)由椭圆的定义及已知条件知:2aF
7、1BF2B10,所以a=5,又c3,故b=4.故椭圆的方程为.由点B(4,y0)在椭圆上,得F2By0|,因为椭圆的右准线方程为,离心率.所以根据椭圆的第二定义,有.因为F2A,F2B,F2C成等差数列,所以:x1+x2=8,从而弦AC的中点的横坐标为【名师点睛】:涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题,常常要注意运用第一定义,而涉及曲线上的点到某一焦点的距离,常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者,需要注意的是右焦点与右准线对应,不能弄错.考点4:直线与圆锥曲线位置关系问题1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要
8、注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程,利用判别式、韦达定理来求解或证明.例4:【名师点睛】: 在以直线与双曲线的知识为背景前提下,结合相应的平面几何知识点到直线距离、两直线的交点问题等来解决有关的三角形面积,交点坐标问题。深刻体会代数法来解决解析几何的思想实质。考点5:
9、轨迹问题 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求 (3)相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程 求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念 根据已知条件求出轨迹方程,再由方程说明轨迹的
10、位置、形状、大小等特征.例5. 设是单位圆的直径,是圆上的动点,过点的切线与过点的切线分别交于两点. 四边形的对角线和的交点为,求的轨迹解:以圆心O为原点,直径为x轴建立直角坐标系,则A(1,0),B(1,0),单位圆的方程为设N的坐标为,则切线DC的方程为:, 由此可得 AC的方程为 BD的方程为 将两式相乘得:,即当点N恰为A或B时,四边形变为线段AB,这不符合题意,所以轨迹不能包括A、B两点,所以的轨迹方程为,()【名师点睛】: 对于解析几何问题,首先要建系设点然后结合几何中的性质进行求解运算。同时要注意圆的参数方程的运用,对于轨迹方程的求解要注意查漏补缺。考点6:与圆锥曲线有关的定值、
11、最值问题 建立目标函数,转化为函数的定值、最值问题.例6:已知A(2,0),B(2,0),动点P与A、B两点连线的斜率分别为和,且满足=t (t0且t1).()求动点P的轨迹C的方程;()当t0时,曲线C的两焦点为F1,F2,若曲线C上存在点Q使得F1QF2=120O,求t的取值范围解:() 设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x24)+=1轨迹C的方程为+=1(x2). () 当1t0时,曲线C为焦点在x轴上的椭圆,设=r1,= r2, 则r1+ r2=2a=4.在F1PF2中,=2c=4,F1PF2=120O,由余弦定理,得4c2=r+r2r1r2= r+r+ r1r2= (r1
12、+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2, 16(1+t)12, t.所以当t0时,曲线上存在点Q使F1QF2=120O 当t1时,曲线C为焦点在y轴上的椭圆,设=r1,= r2,则r1+r2=2a=4 t,在F1PF2中, =2c=4.F1PF2=120O,由余弦定理,得4c2=r+r2r1r2= r+r+ r1r2= (r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2, 16(1t)12tt4. 所以当t4时,曲线上存在点Q使F1QF2=120O综上知当t0时,曲线上存在点Q使AQB=120O的t的取值范围是【名师点睛】:本试题先直接发球轨迹方程,然后运用一问的结论进一步研究第
13、二问,充分利用圆锥曲线的定义和余弦定理,结合不等式的思想来得到不等式关系,从而得到相关的结论。主要是体会焦点三角形的运用。【名师点睛】:设椭圆上动点坐标为(x,y),用该点的横坐标将距离d表示出来,利用求函数最值的方法求d的最小值.考点7:与圆锥曲线有关的对称问题利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.例7:过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程 解法一 由e=,得,从而a2=2b2,c=b 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B
14、(x2,y2)在椭圆上 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12x22)+2(y12y22)=0,设AB中点为(x0,y0),则kAB=,又(x0,y0)在直线y=x上,y0=x0,于是=1,kAB=1,设l的方程为y=x+1. 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y),由点(1,1b)在椭圆上,得1+2(1b)2=2b2,b2= 所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=x+1 解法二 由e=,从而a2=2b2,c=b 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1),将l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则
15、x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k= 直线l y=x过AB的中点(),则,解得k=0,或k=1 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍去,从而k=1,直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一 【名师点睛】: 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线AB斜率的等式,再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解;解法二,用韦达定理【三年高考】 10、11、12 高考试题及其解析2012年高考试题及解析一、选择题(2012年
16、高考(浙江文)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A3B2CD【答案】B 【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质,通过对两者公交点求解离心率的关系. 【解析】设椭圆的长轴为2a,双曲线的长轴为,由M,O,N将椭圆长轴四等分,则,即,又因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为c,则双曲线的离心率为,. (2012年高考(四川文)已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点.若点到该抛物线焦点的距离为,则()ABCD【答案】B 解析设抛物线方程为y2=2px(p0),则焦点坐标为()
17、,准线方程为x=, 点评本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点,F为抛物线的焦点,d为点M到准线的距离). (2012年高考(山东文)已知双曲线:的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为()ABCD解析:由双曲线:的离心率为2可知,则双曲线的渐近线方程为,抛物线的焦点,则,抛物线的方程为,答案应选D. (2012年高考(辽宁文)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为()A1B3C4D8【答案】C 【解析】因为点P,Q的横坐标分别为4,2,代人抛物线方
18、程得P,Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,2,所以过点P,Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题.曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键. (2012年高考(课标文)等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于、两点,=,则的实轴长为()ABC4D8【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为:,设等轴双曲线方程为:,将代入
19、等轴双曲线方程解得=,=,=,解得=2, 的实轴长为4,故选C. (2012年高考(课标文)设,是椭圆:=1(0)的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为()ABCD【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想,是简单题. 【解析】是底角为的等腰三角形, ,=,=,故选C. (2012年高考(江西文)椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为()ABCD【答案】B 【解析】,由成等比数列得. 【考点定位】本题主要考查椭圆和等比数列的知识,根据等比中项的性质可得结果.(2012年高考(湖
20、南文)已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为()A-=1B-=1C-=1D-=1【答案】A 【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为,则. 又C 的渐近线为,点P (2,1)在C 的渐近线上,即. 又,C的方程为-=1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型. (2012年高考(福建文)已知双曲线-=1的右焦点为,则该双曲线的离心率等于A BCD 【答案】C 【解析】由,C答案正确. 【考点定位】本题主本考查双曲线的方程与基本性质,属于基础题. (2012年高考(大纲文)已知
21、为双曲线的左,右焦点,点在上,则()ABCD【答案】C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用.首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可. 【解析】解:由题意可知,设,则,故,利用余弦定理可得. (2012年高考(大纲文)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为,则该椭圆的方程为()ABCD【答案】C【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,从而得到椭圆的方程. 【解析】因为,由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县,所以.故选答案C 二、填空题(2012年高考(
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