2012版高考数学 3-2-1精品系列 专题03 数列 理.doc
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1、3-2-1精品系列数学(理)2012版 专题2012版高考数学 3-2-1精品系列专题03 数列 理 (教师版)03 数列(1)数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).了解数列是自变量为正整数的一类函数.(2)等差数列、等比数列 理解等差数列、等比数列的概念. 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式. 能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.考纲解读:数列难度降底,得分率提高,但要全对还得加大基本功训练;选择填空题重点考查等差(比)数列的性质;解答题中
2、重点考查通项公式、求和;重视求和中的错位相减法、裂项相消求和等;递推数列不要研究太深,只掌握基本的就行。近几年考点分布数列是高中代数的重要内容之一,由于它既具有函数特征,又能构成独特的递推关系,使得它既与中学数学其他部分知识如:函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系,又有自己鲜明的特征,因此它是历年高考考查的重点、热点和难点,在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大,承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.通过对2012年高考试题的研究,本专题在高考试题中占有较大比重,分值约占总分的12%,大多
3、为一道选择题或填空题,一道解答题.试题注重基础,着重考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、数学归纳法及应用问题,选择题和填空题,突出“小、巧、活”的特点.而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题.【考点pk】名师考点透析考点一 等差、等比数列的概念与性质例1:已知为等比数列,且(1)若,求;(2)设数列的前项和为,求.解:设,由题意,解之得,进而(1)由,解得 (2) 例2:设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足+15=0。()若=5,求及a1;()求d的取值范围。解 ()由题意知S6=-3, =S6-S5=-8。所以解得a1=7,所以S6=
4、-3,a1=7()方法一:因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d28.故d的取值范围为d-2或d2.方法二:因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.看成关于的一元二次方程,因为有根,所以,解得或。考点二 求数列的通项与求和例3. 已知数列满足(1)求(2)设求证:; 3)求数列的通项公式。(2)由(1):,有 (3)由(2):而,是以2为首项,2为公比的等比数列,即,而,有:【名师点睛】:一般地,含
5、有的递推关系式,一般利用化“和”为“项”。例4:在数列中,并且对任意都有成立,令()求数列的通项公式 ;()求数列的前n项和解:(1)当n=1时,,当时,由得所以所以数列是首项为3,公差为1的等差数列,所以数列的通项公式为(2)【名师点睛】:裂项相消法:主要用于通项为分式的形式,通项拆成两项之差求和,正负项相消剩下首尾若干项,注意一般情况下剩下正负项个数相同.考点三 数列与不等式、函数等知识的联系例5: 已知数列是等差数列,(1)判断数列是否是等差数列,并说明理由;(2)如果,试写出数列的通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列得前n项和为,问是否存在这样的实数,使当且仅当时取得最大值。若存在
6、,求出的取值范围;若不存在,说明理由。 (3)因为当且仅当时最大即【名师点睛】:解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略例6: 已知数列的首项(是常数,且),(),数列的首项,()。 (1)证明:从第2项起是以2为公比的等比数列;(2)设为数列的前n项和,且是等比数列,求实数的值;(3)当时,求数列的最小项.(提示:当时总有)解:(1)(n2)由得, ,(3)由(1)知当时,所以,显然最小项是前三项中的一项。当时,最小项为;当时,最小项为或;当时,最小项为;当时,最小项为或;当时,最小项为。【名师点睛
7、】:、对数列中的含n的式子,注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子,再进行化简变形处理;也可以把n取自然数中的具体的数1,2,3等,得到一些等式归纳证明.例7:已知数列中,.(1)写出的值(只写结果)并求出数列的通项公式;(2)设,若对任意的正整数,当时,不等式恒成立,求实数的取值范围。解:(1) 2分 当时, ,当时,也满足上式, 数列的通项公式为(2)令,则, 当恒成立在上是增函数,故当时,即当时, 要使对任意的正整数,当时,不等式恒成立,则须使,即, 实数的取值范围为另解: 数列是单调递减数列,【名师点睛】:数列是一种特殊的函数,要注意其特殊性:(1)若用导数研究数列的单调性、最值等要
8、构造辅助函数,因为导数是对连续函数而定义的(2)辅助函数的单调性与数列的单调性的联系与区别例8:已知数列的前项和为,对一切正整数,点都在函数的图像上,且过点的切线的斜率为(1)求数列的通项公式(2)若,求数列的前项和(3)设,等差数列的任一项,其中是中的最小数,求的通项公式.解:(1)点都在函数的图像上,,当时,当1时,满足上式,所以数列的通项公式为 (2)由求导可得过点的切线的斜率为,.由4,得-得: (3),.又,其中是中的最小数,.是公差是4的倍数,.又,,解得27.所以,设等差数列的公差为,则,所以的通项公式为【名师点睛】:一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,主要用错
9、位相减法求数列的和.例9:甲、乙两容器中分别盛有浓度为,的某种溶液500ml, 同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液,将其倒入对方的容器搅匀,这称为一次调和. 记,【名师点睛】:数列在日常经济生活中广为应用,如增长率问题、银行存款利率问题、贷款问题等,都是与等比数列有关另外,有些实际问题,可转化为数列问题,注意是求项还是求和,是解方程还是不等式问题【三年高考】 10、11、12 高考试题及其解析2012年高考试题及解析一、选择题 (2012年高考(新课标理)已知为等比数列,则()ABCD【解析】,或 选 (2012年高考(浙江理)设S n是公差为d(d0)的无穷等差数列a n的前n项和,
10、则下列命题错误的是A若d0,则数列S n有最大项 B若数列S n有最大项,则d0 D若对任意的nN*,均有S n0,则数列S n是递增数列【解析】选项C显然是错的,举出反例:1,0,1,2,3,.满足数列S n是递增数列,但是S n0不成立. (2012年高考(重庆理)在等差数列中,则的前5项和=()A7B15C20D25 【解析】,故. 【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前项和公式,解题时要认真审题,仔细解答. (2012年高考(四川理)设函数,是公差为的等差数列,则()ABC D 点评本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强知识系统、网络化
11、学习. 另外,隐蔽性较强,需要考生具备一定的观察能力. (2012年高考(上海理)设,. 在中,正数的个数是()A25.B50.C75.D100.【解析】对于1k25,ak0(唯a25=0),所以Sk(1k25)都为正数. xya2a12a13a24a23a26a27a49a48a38a37a当26k49时,令,则,画出ka终边如右, 其终边两两关于x轴对称,即有, 所以+0 + =+ +,其中k=26,27,49,此时, 所以,又,所以, 从而当k=26,27,49时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S490. 对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数. 综上,可选D
12、. 评注 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键. (2012年高考(辽宁理)在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()A58B88C143D176【解析】在等差数列中,答案为B 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确. (2012年高考(江西理)观察下列各式:a+b=1.a+b2=3,a3+b3=4 ,a4+b4=7,a5+b5=11,则
13、a10+b10=()A28B76C123D199【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11, 发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123, 故 【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理. (2012年高考(湖北理)定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数:; ; ; .则其中是“保等比数列函数”的的序号为()A B C D 【解析】等比
14、数列性质,; ;.选C (2012年高考(福建理)等差数列中,则数列的公差为()A1B2C3D4【解析】,而,解得. 【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,考查计算求解能力.(2012年高考(大纲理)已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为()ABCD【解析】由可得 (2012年高考(北京理)某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,的值为()A5 B7C9 D11 【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C.【考点定位】 本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,
15、当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产量最高,就需要随着的增大,变化超过平均值的加入,随着增大,变化不足平均值,故舍去.(2012年高考(安徽理)公比为等比数列的各项都是正数,且,则()ABCD【解析】选二、填空题(2012年高考(新课标理)数列满足,则的前项和为_【解析】的前项和为 可证明: (2012年高考(浙江理)设公比为q(q0)的等比数列a n的前n项和为S n.若,则q=_.【解析】将,两个式子全部转化成用,q表示的式子. 即,两式作差得:,即:,解之得:(舍去). (2012年高考(上海春)已知等差数列的首项及公差均为正数,令当是数列的最大项时,_.【
16、解析】(2012年高考(辽宁理)已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公式_.(2012年高考(江西理)设数列都是等差数列,若,则_。【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 (解法一)因为数列都是等差数列,所以数列也是等差数列. 故由等差中项的性质,得,即,解得. (解法二)设数列的公差分别为, 因为, 所以.所以. 【点评】对于等差数列的计算问题,要注意掌握基本量法这一通法,同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式,前项和,等差中项的性质等. (2012年高考(湖南理)设N=2n(nN*,n2),将N个数x1,x2
17、,xN依次放入编号为1,2,N的N个位置,得到排列P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到;当2in-2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段C变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.(1)当N=16时,x7位于P2中的第_个位置;(2)当N=2n(n8)时,x173位于P4中的第_个位置. (2)方法同(1),归纳推理知x173位于P4中的第个位置.
18、【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. (2012年高考(湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,99.3位回文数有90个:101,111,121,191,202,999.则()4位回文数有_个;()位回文数有_个.【解析】()4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(19)种情况,第二位有10(09)种情况,所以4位回文数有种. 答案:90 ()法一、由上面多组数据研
19、究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第一位不能为0有9种情况,后面n项每项有10种情况,所以个数为. 法二、可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,99”,因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加09这十个数,因此,则答案为. (2012年高考(广东理)(数列)已知递增的等差数列满足,则_.【解析】设公差为(),则有,解得,所以.(2012年高考(福建理)数列的通项公式,前项和
20、为,则_.【解析】由,可得 【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和(2012年高考(北京理)已知为等差数列,为其前项和.若,则_.【解析】,所以,. 【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前项和公式的计算.三、解答题(2012年高考(天津理)已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且=,.()求数列与的通项公式;()记,证明.【解析】【命题意图】本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、通项公式、前项和公式、数列求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证的能力. (1)设等差数列的公差为,等比数列的公比
21、为,由,得,由条件得方程组,故 (2)方法二:数学归纳法(1)当时,故等式成立。 【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用,但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空间留有余地,符合高考命题选拔性的原则. (2012年高考(重庆理)(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)设数列的前项和满足,其中.(I)求证:是首项为1的等比数列;(II)若,求证:,并给出等号成立的充要条件.【解析】(1)证明:由,得,即. 因,故,得, 又由题设条件知, 两式相减得,即, 由,知,因此 当时,上面不等式的等号成立. 当时,
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