2012版高考数学 3-2-1精品系列 专题15 几何证明选讲.doc
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1、2012版高考数学 3-2-1精品系列专题15 几何证明选讲(教师版)【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布2012考纲解读 考纲原文(1)了解平行线截割定理,会证直角三角形射影定理(2)会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理(3)会证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理考纲解读“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因
2、而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型1比例问题平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.近几年考点分布 几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:相似三角形的定义与性质;平行线截割定理;直角三角形射影定理;圆周角与圆心角定理;圆的切线的判定定理及性质定理;弦切角的性质;相交弦定理;圆内接四边形的性质定理和判定定理;切割线定理. 【名师点睛】平行线分线段成比例定理一方面可以判定线段成比例,另一方面,当不能直
3、接证明要证的比例成立时,常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比考点二、相似三角形判定与性质例2、在ABC中,ABAC,D为腰AB上一点,ADDC,且AD2ABBD,求证:A36.【证明】过点D作DEBC,交AC于E.EDCBCD,BDCE.AD2ABBD,ADDC,ABAC,.又ECDDCA,ECDDCA,EDCA.又ADCD,ADCE,BCDACDA,BCABCDACD2A.又ABAC,BBCA2A.ABBCA5A180,A36.【名师点睛】运用相似三角形性质解题的关键在于求出相似比,在具体论证过程中,往往是相似三角形的判定定理和性质定理结合运用,由判定三角形相似得到角相等或对应线
4、段成比例的过程反复运用,从而达到解决问题的目的考点三、直角三角形射影定理例3、如图,在RtABC中,BAC90,ADBC于D,DFAC于F,DEAB于E.试证明:(1)ABACBCAD;(2)AD3BCCFBE.【证明】(1)RtABC中,ADBC,SABCABACBCAD.ABACBCAD.(2)RtADB中,DEAB,由射影定理可得BD2BEAB,同理CD2CFACBD2CD2BEABCFAC.又RtBAC中,ADBC,AD2BDDC,AD4BEABCFAC,又ABACBCAD.即AD3BCCFBE.考点五、圆的切线的性质及判定例5、在ABC中,C90,BE是角平分线,DEBE交AB于D,
5、O是BDE的外接圆求证:AC是O的切线【证明】连接OE,因为OEOB,所以OEBOBE. 又因为BE平分CBD,所以CBEOBE,所以OEBCBE,所以EOCB.因为C90,所以AEO90,即ACOE.因为OE为O的半径,所以AC是O的切线【名师点睛】证明直线是圆的切线的方法:若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点),则连接圆心和这个公共点,设法证明直线垂直于这条半径;如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点),则应过圆心作直线的垂线,得到垂线段,设法证明这条垂线段的长等于圆半径考点六、圆周角和弦切角例6、如图,已知圆上的弧,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明:(1
6、)ACEBCD;(2)BC2BECD.【证明】(1)因为,所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C,故ACEABC,所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB,EBCBCD,所以BDCECB,故,即BC2BECD.【名师点睛】(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系,从而证明三角形全等或相似,可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;关于圆周上的点,常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角【名师点睛】涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段,常利用圆周角或弦切角证明三角形相似,在相似三角形中寻找比例线段;也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段
7、成比例,在实际应用中,一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理,涉及两条割线就要想到割线定理,见到切线和割线时要注意应用切割线定理【三年高考】10、11、12高考试题及其解析12高考试题及其解析一、填空题选择题 (2012年高考(天津文)如图,已知和是圆的两条弦,过点作圆的切线与的延长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,则线段的长为_.【解析】如图连结BC,BE,则1=2,2=A,又B=B,代入数值得BC=2,AC=4,又由平行线等分线段定理得,解得CD=. (2012年高考(陕西文)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,垂足为F,若,则_. 【解析】,在中,4 (2012
8、年高考(江西理)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=()A2B4C5D10【解析】特殊的等腰直角三角形,不妨令,则, , ,所以.5 (2012年高考(北京理)如图,ACB=90,CDAB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则()ACECB=ADDBBCECB=ADAB CADAB= DCEEB= 【解析】由切割线定理可知,在直角中,则由射影定理可知,所以. (2012年高考(陕西理)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,垂足为F,若,则_.【解析】,在中,CBADO.(2012年高考(湖北理)(选修4-1:几何证明选讲)如图,点D在的弦AB上移
9、动,连接OD,过点D 作的垂线交于点C,则CD的最大值为_. 【解析】 (由于因此,线段长为定值, 即需求解线段长度的最小值,根据弦中点到圆心的距离最短,此 时为的中点,点与点重合,因此. (2012年高考(广东理)(几何证明选讲)如图3,圆的半径为1,、是圆周上的三点,满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则_.【解析】连接,则,因为,所以. 二、解答题(2012年高考(辽宁文)选修41:几何证明选讲如图,O和相交于两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交O于点E.证明();() .【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结
10、合思想,重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握,难度较小。证明:(1)由与相切于,得,同理,所以。从而,即 4分(2)由与相切于,得,又,得从而,即,综合(1)的结论, 10分(2012年高考(新课标理)选修4-1:几何证明选讲如图,分别为边的中点,直线交的外接圆于两点,若,证明:(1);(2)【解析】(1), (2) (2012年高考(辽宁理)选修41:几何证明选讲 如图,O和相交于两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交O于点E.证明();() .【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结合思想,重在考查对平面几何基础
11、知识、基本方法的掌握,难度较小。证明:(1)由与相切于,得,同理,所以。从而,即 4分(2)由与相切于,得,又,得从而,即,综合(1)的结论, 10分【点评】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结合思想,重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握,难度较小. 11年高考试题及解析一、选择题 (2011北京理5)如图,AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F,延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论:AD+AE=AB+BC+CA;AFAG=ADAEAFB ADG其中正确结论的序号是A BC D【答案】A二、填空题1.(天津理12)如图,已知圆中两条弦与
12、相交于点,是延长线上一点,且若与圆相切,则线段的长为_.【答案】5.(广东理15)(几何证明选讲选做题)如图4,过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,,且=7,是圆上一点使得=5,=, 则= 。【答案】6.(辽宁理22)如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED(I)证明:CD/AB;(II)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆证明:(I)因为EC=ED,所以EDC=ECD.因为A,B,C,D四点在同一圆上,所以EDC=EBA.故ECD=EBA,所以CD/AB.5分(II)由(I)知,AE=BE,因为EF=FG,故E
13、FD=EGC从而FED=GEC.连结AF,BG,则EFAEGB,故FAE=GBE,又CD/AB,EDC=ECD,所以FAB=GBA.所以AFG+GBA=180.故A,B,G,F四点共圆 10分x2=12.故 AD=2,AB=12.取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.由于A=900,故GHAB,HFAC. HF=AG=5,DF= (12-2)=5.故C,B,D,E四点所在圆的半径为2010年高考试题及解析一、填空题1.(2010北京理)如图,的弦ED,CB的延长线
14、交于点A。若BDAE,AB4, BC2, AD3,则DE ;CE 。【答案】5 2.(2010天津文)(11)如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P。若PB=1,PD=3,则的值为 。【答案】【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质,属于容易题。因为A,B,C,D四点共圆,所以,因为为公共角,所以PBCPAB,所以= 【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补,圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容,也是考查的热点。3.(2010天津理)如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若,则的值为 。4.(2010广东理)(几何证明选
15、讲选做题)如图3,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,PD=,OAP=30,则CP_.【答案】因为点P是AB的中点,由垂径定理知, .在中,.由相交线定理知,即,所以二、简答题6.(2010江苏卷)21.选做题本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答。若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的切线交AB延长线于点C,若DA=DC,求证:AB=2BC。解析 本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证能力。(方法一)证
16、明:连结OD,则:ODDC, 又OA=OD,DA=DC,所以DAO=ODA=DCO, DOC=DAO+ODA=2DCO,所以DCO=300,DOC=600,所以OC=2OD,即OB=BC=OD=OA,所以AB=2BC。(方法二)证明:连结OD、BD。因为AB是圆O的直径,所以ADB=900,AB=2 OB。因为DC 是圆O的切线,所以CDO=900。又因为DA=DC,所以DAC=DCA,于是ADBCDO,从而AB=CO。即2OB=OB+BC,得OB=BC。故AB=2BC。5.3.(2012年丰台二模理11)如图所示,AB是圆的直径,点C在圆上,过点B,C的切线交于点P,AP交圆于D,若AB=2
17、,AC=1,则PC=_,PD=_ 答案:,。4.(2012年昌平二模理12)如图,是的直径,切于点,切于点,交的延长线于点.若,则=_;=_.答案:1,。5.(2012年东城二模理12) 如图,直线与相切于点,割线经过圆心,弦于点,则 答案:6.(2012年海淀二模理12)如图, 圆O的直径与弦交于点,则_.答案:。7、【广东省肇庆市2012届高三第一次模拟理】15(几何证明选讲选做题)如图2,点是O外一点,为O的一切线,是切点,割线经过圆心O,若,则 8、【广东省肇庆市2012届高三上学期期末理】14.(几何证明选讲选做题)如图3,PAB、PCD为O的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=
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