CUMCM历年赛题1993-1999.doc
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1、,附录:1993年全国大学生数学模型竞赛试题(1993年10月15日-17日)A题 非线性交调的频率设计 如果一非线性器件输入u(t)gn 与输出y(t)的关系是 y(t)=u(t)+u2(t)(其中t是时间),那么当输入是包含频率的信号时,输出 中不公是包含输入信号,而且还会出现等新的频率成分,这些新的频率称为交调,如果交调出现在原有频率的附近,就会形成噪声干扰,因此工程设计中对交调的出现有一定的要求。 现有一SCS(非线性)系统,其输入输出关系由如下一组数据给出输入U 0 5 10 20 30 40 50 60 80 输出Y 0 2.25 6.80 20.15 35.70 56.40 75
2、.10 87.85 98.50 输入信号为u(t)=A1cos2f1t+A2cos2f2t+A3cos2f3t, 其中A1=25,A2是输入信号振幅的频率f1,f2,f3的设计要求为: 1)36f140,41f250,46f353. 2)输出中的交调均不得出现在fi5的范围内(i=1,2,3),此范围称为fi的接收带。3)定义输出中的信噪比SNR=10log10(Bi2(单位:分),其中是Bi输出中对应于频率为fn 信号的振幅,Cn是某一频率为的交调的振幅,若fn出现在fn=fi6处(i=1,2,3),则对应的SNR应大于10分贝。4)fi不得出现在fi的接带内(i,j=1,2,3,ij) 5
3、)为简单起见,fi只取整数值,交调只考虑2阶类型(即fifjfk,i,j,k=1,2,3),试按上述要求设计输入信号频率f1,f2,f3. 本题由北京大学谢衷洁提供。 B题 足球队排名次 下表给出了我国12支足球队在1988-1989年全国足球级联赛中的成绩,要求 1)设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法,并给出用该算法排名次的结果。 2)把算法推广到任意N个队的情况。 3)讨论:数据应具备什么样的条件,用你的方法才能够排出诸队的名次。 对下表的说明: 1)12支球队依次记作T1,T2,,T12. 2)符号X表示两队未曾比赛。 3)数字表示两队比赛结果,如T3行与Y8列交叉处的数字表示:T3
4、与T8比赛了2场;T3与T8的进球之比为0:1和3:1。 本题由清华大学蔡大用提供。 1993年全国大学生数学模型竞赛总结及部分优秀论文可参阅“数学的认识与实践”1994年第2期,71-96。 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12T1X 0:1 2:2 2:0 3:1 1:0 0:1 0:2 1:0 1:1 X X1:0 1:0 3:1 1:3 2:1 4:0 1:10:0 0:2 1:0T22:0 0:0 1:1 2:1 1:1 0:0 2:0 0:2 X 0:1 2:0 1:1 0:0 1:1 0:0 X X 1:3 0:0 T3 4:2 2:1 3
5、:0 1:0 0:1 1:0 0:1 X 1:1 1:4 3:1 2:3 2:0 X X 0:0T4 2:3 0:1 0:5 2:1 0:1 0:1 X 2:3 1:3 0:0 1:1 X X T5 0:1 1:0 0:1 X X X X X 1:2 1:1 T6 X X X X X X X T7 1:0 2:1 3:1 3:1 2:0X 2:0 3:0 3:0 0:0 1:0 2:2T8 0:1 1:1 3:1 0:0 X 1:2 1:0 2:0 0:1T9 3:0 1:0 1:0 X 1:0 0:0 T10 1:0 2:0 X T11 1:1 X 1:2 1:1T12 X1994年全国大学
6、生数学建模竞赛题A题 逢山开路 要在一山区修建公路, 首先测得一些地点的高程, 数据见表1(平面区域0 x5600,0y4800,表中数据为坐标点的高程, 单位:米).数据显示: 在 y=3200 处有一东西走向的山峰; 从坐标 (2400,2400) 到 (4800,0) 有一西北 - 东南走向的山谷; 在 (2000,2800) 附近有一山口湖, 其最高水位略高于 1350 米, 雨季在山谷中形成一溪流. 经调查知, 雨量最大时溪流水面宽度 w 与(溪流最深处) 的 x 坐标的关系可近似表示为 w(x)=(x-2400 3/4 )/2 ) + 5 (2400x4000). 公路从山脚 (0
7、,800) 处开始, 经居民点 (4000,2000) 至矿区 (2000,4000). 已知路段工程成本及对路段坡度 (上升高程与水平距离之比) 的限制如表 2. 1) 试给出一种线路设计方案, 包括原理、方法及比较精确的线路位置(含桥梁、隧道), 并估算该方案的总成本. 2) 如果居民点改为3600x4000, 2000y2400的居民区, 公路只须经过居民区即可, 那么你的方案有什么改变. 表一 北 _48001350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 15 44001370 1390 1410 1430 14
8、40 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 21 40001380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 35 36001420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 50 32001430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 155 2800 950 1190 1370 1500 1200 110
9、0 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 120 2400 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 110 2000 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 95 1600 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 75 1200 740 880 1080 1130 1250 1280 123
10、0 1040 900 500 700 780 750 650 55 800 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 35 400 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 32 0 730 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 25 _ y/x 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 560 B
11、 题 锁具装箱 某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有 5 个槽, 每个槽的高度从 1,2,3,4, 5,6 6 个数 (单位略) 中任取一数. 由于工艺及其它原因, 制造锁具时对 5 个槽的高度 还有两个限制: 至少有 3 个不同的数; 相邻两槽高度之差不能为 5. 满足以上条件制造 出来的所有互不相同的锁具称为一批. 出来的所有互不相同的锁具称为一批. 从顾客的利益出发, 自然希望在每批锁具中一把钥匙开一把锁. 但是在当前工 艺条件下, 对于同一批中两个锁具是否能够互开, 有以下试验结果: 若二者相对应的 5个 槽的高度中有 4个相同, 另一个的高度差为 1, 则可能互开; 在其它情形下
12、, 不可能互开. 原来, 销售部门在一批锁具中随意地取每 60个装一箱出售. 团体顾客往往购买 几箱到几十箱, 他们抱怨购得的锁具会出现互相开的情形. 现聘聘请你为顾问, 回答并解 决以下问题: 1) 每一批锁具有多少个, 装多少箱. 2) 为销售部门提供一种方案, 包括如何装箱(仍是60个锁具一箱),如何给箱子以标志, 出售时如何利用这些标志, 使团体顾客不再或减少抱怨. 3) 采取你提出的方案, 团体顾客的购买量不超过多少箱, 就可以保证一定不会出现互开。 4) 按照原来的装箱办法, 如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度 (试对购买一、二 箱者给出具体结果). 1995年全国大学生数学建模
13、竞赛a题 一个飞行管理模型 在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内, 经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘, 记录其数据后,要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞,则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角,以避免碰撞。现假定条件如下: 1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里; 2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度; 3) 所有飞机飞行速度均为每小时800公里; 4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时, 与区域内飞机的距离应在60公里以上;
14、5) 最多需考虑6架飞机; 6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度),要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点的座标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。记录数据为: 飞机编号 横座标x 纵座标y 方向角(度) 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入 0 0 52 注: 方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推
15、广。 b题 天车与冶炼炉的作业调度 某钢铁厂冶炼车间的厂房布局是,地面沿一直线依次安置着7个工作点辅料供应处p;a组3座转炉(冶炼成品钢)a1, a2, a3;b组2座冶炼炉(冶炼半成品钢,简称半钢)b1, b2;原料供应处q。这些设备的上方贯通着一条运送物料的天车轨道,上面布置着若干天车t1,t2,.,tn炉了作业服务。布局示意如下。 |-t1-t2-tn-| p a1 a2 a3 b1 b2 q 天车与冶炼炉的作业过程与工序为:天车从q处吊起原料一罐(吊罐时间ty)运至b1或b2处放下(放罐时间ti),并将上一炉的原料空罐吊起(吊空时间to)返回q处放下(放空罐时间tk)。b组炉的原料罐放
16、下后即可在辅助作业下开始冶炼(冶炼时间tb),由天车吊起半钢罐(吊罐时间td)运至a1或a2、a3处将半钢倒入转炉(倒入时间te),并将空罐返回b1或b2处放下(放空罐时间tc)。再由天车从p处吊起辅料一槽(吊起时间tg)运至a1或a2、a3处加入转炉(加入时间tf),并将空槽返回p处放下(放空槽时间th)。a组炉在半钢和辅料加入后即可开始冶炼(冶炼时间ta),冶炼后成品钢人输出不用天车(输出时间记人ta)。天车通过相邻两个工作点人运行时间都相同,记为tx。由于各台天车在同一轨道上运行,因此其顺序位置t1, t2, .,tn不可交换。在同一时间同一座炉子上只能允许一台天车作业;但p、q两处可以
17、允许多台天车同时作业。在p,a1,.,q每两个相邻工作点之间最多能容纳2台天车同时停放。天车与冶炼炉作业调度的要求为: (1) 成品钢产量尽量高; (2)各台天车的作业率(天车作业时间所占比例)尽量均衡(考虑到设备人员安全等因素,一般天车作业率不超过70); (3)绝不允许天车相撞等事故; (4)调度规则尽量简明,以利于现场人员使用。 现设定:ta=48,tb=27,ti=3,to=2,tc=2,td=3,te=5,tf=2,tg=2,th=1,ty=3,tk=2(单位:分钟),tx=15秒;a组炉平均每炉产量wa=120吨。在不超过5台天车的条件下,设计一种满足上述要求的 天车与冶炼炉的作业
18、调度方案: (1) 各台天车负责那些作业(列出工序清单); (2) 在所给方案的一个周期内,每一时刻天车和冶炼炉处于什么状态(画出天车炉子作业运行图); (3) 一份供现场人员使用的调度规则说明书; (4) 在所给方案下计算各台天车的作业率。 并按每天冶炼炉数估计该车间成品钢的年产量(扣除设备维修日,每台转炉作业日每年按300天计算)。实际生产中,ta, tb, ., tk都是随机的(上面设定的数值可视为平均值),讨论你的调度方案如何适用于实际生产过程。试提出该车间提高钢产量到年产300万吨以上的建议。1997年全国大学生数学建模竞赛试题 A题 零件的参数设计 一件产品由若干零件组装而成,标志
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