代数学简史精选PPT.ppt
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1、代数学简史第1页,此课件共50页哦 本科的代数类课程有三门:高等代数,近世代数和初等数论(暂且列入)本次讲座谈谈代数课的发展历史思想方法和现代研究的方向第2页,此课件共50页哦 高等代数是数学专业一年级学生的专业基础课,是进入大学学习的数学专业学生的承上启下的课程;近世代数课程则是进一步研究学习近代数学的入门课程代数课程在学习和掌握其中的基础理论和基本方法的同时,更重要的是学习培养抽象思维,逻辑推理和空间直观想像这三种基本的数学思维第3页,此课件共50页哦 代数学是以数、多项式矩阵和它们的运算,以及群环域和模等为研究对象的学科简单地说,代数学是研究代数系统(带有一些运算的集合)的下面从几个问题
2、谈这门课程的几个方面第4页,此课件共50页哦一公理化方法.公理化方法是数学演绎或数学思想方法的逻辑上的严谨化发展的结果,在数学理论中的概念定义和定理.命题的证明必须从一些已经被大家熟知的概念和已公认正确的结论出发,这些“约定”的概念为基本概念,“约定”公认成立的结论成为公理.基本概念和公理组成的一个逻辑体系称为某一理论的公理系统.逻辑推理基本概念公理命题定理理论体系第5页,此课件共50页哦 典型的古典平面几何立体几何 就是一个公理体系最严谨的体系是由希尔伯特在Euclid的几何原本基础之上完成的 希尔伯特的几何公理体系:基本概念点直线和平面,三种关系:属于,介于和合同于.第一组结合公理(关联公
3、理从属公理)共8条.第6页,此课件共50页哦 对于两点A,B,存在通过这两点的直线a;对于两点A,B,至多存在一条直线通过这两点;每条直线上至少有两点至少存在三点不在同一 直线上;对于不在同一直线上的三点A,B,C,存在通过三点 的平面 ,在每个平面上至少有一个点第7页,此课件共50页哦 对于不在同一直线上的三点A,B,C,至多 有一个平面 通过这三点;如果直线a和两点A,B在平面 上,那么直 线a的每个点都在平面 上;如果两个平面 ,通过一点A,那么它们 还通过另一个点B 至少存在四个不在同一平面上的点第8页,此课件共50页哦 第二组顺序公理,共4条 第三组合同公理,共5条 第四组平行公理,
4、只有一条 如果a是任意直线,A是不在a上的一点,那么在a 和A确定的平面上,只有一条直线通过A,且不与a相交第9页,此课件共50页哦 第五组连续公理,有2条 公理化的三要素:完备性 相容性 独立性 Hilbert在所著几何基础中从上述5组公理出发,纯粹按照形式逻辑,不借助其它概念,方法和直观,严格地推论出欧氏几何的全部命题,使几何学成为一纯粹的逻辑演绎体系.第10页,此课件共50页哦 希尔伯特几何公理体系成为一个典范促使数学公理化方法的形成,对20世纪的数学起了很大的推动作用 欧氏几何中的平行公理改成罗氏公理(改成过直线个的一点可以做两条直线与该直线平行),就可以得到罗巴切夫几何 数学公理化方
5、法在中学数学教科书中也有体现,平面几何和立体几何都提出了基本概念和公理通过逻辑推理得到命题和定理第11页,此课件共50页哦 公理化方法是现代数学最基本的思想方法,它深刻地影响了现代社会的思想观念社会科学中典型例子 (1)法制社会中的宪法刑法以及各种法律文件是现代社会的公理体系,由此推理演绎出的法制法规条款每一次法庭判案都可看作是由这个公理体系所做的推理过程第12页,此课件共50页哦(2)现代选举学是由造诣很高的数学家创立的数理理论斯坦福大学教授阿罗(1922年诺贝尔经济学奖获得者)用公理化方法研究选举法,证明了定理(阿罗的不可能性定理):绝对公平的选举系统是不存在的第13页,此课件共50页哦
6、Hilbert的一个宏伟目标是,将数学的全部理论公理化.但是奥地利数学家,证明了任何形式化公理系统内中不可判定命题的存在性这就彻底让Hilbert的计划无法实现.哥维尔不完备性定理表明,任何形式系统内不足以证明所有在系统中可以作出的判断体现在选举学中就是阿罗不可能性定理第14页,此课件共50页哦二数系的扩充和严格公理化定义 代数在中学中的基本内容之一是数的运算。整数、有理数、实数、复数,代数学中将这个体系完全建立起来了。第15页,此课件共50页哦数的自然扩充表:正分数 零正无理数 负数 第16页,此课件共50页哦 数的逻辑扩充表:负元乘法逆元有理数基本列第17页,此课件共50页哦第18页,此课
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