第七章 圆PPT讲稿.ppt
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1、第七章 圆第1页,共11页,编辑于2022年,星期一教学目标教学目标:1、掌握内积空间和希尔伯特空间的定义、掌握内积空间和希尔伯特空间的定义,运用定义能够证明运用定义能够证明;2、掌握施瓦茨不等式与极化恒等式、掌握施瓦茨不等式与极化恒等式,并能熟练运用并能熟练运用;3、培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力、培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力;教学重点教学重点:理解理解内积空间和希尔伯特空间的定义内积空间和希尔伯特空间的定义.教学难点教学难点:证明过程及运用证明过程及运用.第2页,共11页,编辑于2022年,星期一 在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,还定义了两个向量的内积
2、的运算,即若则a与b的内积定义为:其中 表示 的复共轭,并且内积与向量a的长度有以下关系 由内积定义,可知两个向量a与b正交等价于 .显然,在有限维复欧氏空间 中,由(1)定义的内积具有下述性质:1.2.3.在复欧氏空间 的欧几里得几何学中所用到内积的性质主要是上面三条,因此利用这三条性质,我们也在一般的线性空间中引入内积的的概念.第3页,共11页,编辑于2022年,星期一 定义定义1设 是复线性空间,如果对 中任何在两个向量 有一复数 与之对应,并且满足下列条件:1.2.3.则称 为 与 的内积,称 为内积空间.如果 是实的线性空间,则条件3就改为从内积的定义,立即可以得到下面的等式 第4页
3、,共11页,编辑于2022年,星期一 设 是内积空间,令那么 是 上的范数.事实上,由内积定义(2)式,不难证明为了证明范数不等式 ,我们首先证明施瓦茨(Schwarz)不等式:引理引理1(Schwarz不等式)设 按内积 成为内积空间,则对于 中任意向量 成立不等式当且仅当 与 线性相关时,不等式(4)中等号才成立.证明:如果 ,易知对一切 因而(4)式成立.若 ,则对每个复数 ,由内积条件1,有令 那么上式方括号中式子为0,所以 第5页,共11页,编辑于2022年,星期一两边乘以 ,并且开方,即可得到要证的Schwarz不等式 若 与 线性相关,通过直接计算,易知(4)式中等号成立,反之,
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