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1、1/7立体几何的动态问题立体几何中的“动态问题”是指空间中的某些点、线、面的位置是不确定的或可变的一类开放性问题,解答此类问题应该动静结合、化动为静,找到相应的几何关系,具体可以有以下几种解决方法:1函数法:某些点、线、面的运动,必然导致某些位置关系或一些变量的变化.变量变化时会引发其他变量的变化,从而建立函数关系,将立体几何问题转化为函数问题来解.2解析法:我们常利用空间直角坐标系解决立体几何问题,即实现几何问题代数化.因此利用空间坐标系将空间图形中的若干元素坐标化后,借助向量进行运算和分析,是解决这类问题的常用方法.3等价转换法:动和静是相对的,在运动变化过程中,要善于寻找或构造与之相关的
2、一些不变因素,将一些变化的点、线、面进行合理转换,实现变量与不变量的结合.类型 1以静制动(旋转问题、投影问题)【例 1】正四面体 ABCD 的棱长为 1,棱 AB平面(如图),则四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是_24,12去掉与问题无关的面,将四面体看成是以 AB 为棱的二面角CABD(二面角大小一定),用纸折出这个二面角,不妨将 AB 置于平面内,将二面角绕 AB 转动一周,观察点 C,D 在平面上的射影,可以发现点 C,D 在平面上的射影始终在 AB 的射影的中垂线上图 1图 2图 32/7当 CD平面时,四边形 ABCD 面积最大,为12(如图 1)当 CD平面
3、时(此时点 C(D)到 AB 的距离即为异面直线 AB 与 CD 的距离),四边形 ABC(D)面积最小为24(如图 2),转动过程中 C,D 在平面上的射影从 C,D 变化到 CD(如图3),故图形面积的取值范围是24,12.在解决立体几何中的“动态”问题时,需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面,让几何图形的实质“形销骨立”,即从混沌中找出秩序,是解决“动态”问题的关键.跟进训练1.如图,直线 l平面,垂足为 O.正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2.点 A是直线 l 上的动点,点 B1在平面内,则点 O 到线段 CD1的中点 P 的距离的最大值为_22从题图分化
4、出 4 个点 O,A,B1,P,其中AOB1为直角三角形,固定 A,B1,点 P 的轨迹是在与 AB1垂直的平面上且以 AB1的中点 Q 为圆心的圆,从而 OPOQQP12AB12 22,当且仅当 OQAB1,且点 O,Q,P 共线时取到等号,此时直线 AB1与平面成 45角类型 2动点轨迹问题【例 2】如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2,E,F 分别为 AA1,AB 的中点,M 是正方形 ABB1A1内的动点,若 C1M平面 CD1EF,则 M 点的轨迹长度为_3/72如图所示,取 A1B1的中点 H,B1B 的中点 G,连接 GH,C1H,C1G,EG,HF,可得四边形
5、 EGC1D1是平行四边形,所以 C1GD1E,同理可得 C1HCF,因为 C1HC1GC1,所以平面 C1GH平面 CD1EF.由 M 是正方形 ABB1A1内的动点可知,若 C1M平面 CD1EF,则点 M 在线段 GH 上,所以 M 点的轨迹长度 GH 1212 2.空间中动点轨迹问题变化并不多,一般此类问题可以从三个角度进行分析处理,一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释;二是平面与平面交线得直线或线段;三是平面和曲面圆锥,圆柱侧面,球面交线得圆、圆锥曲线.很少有题目会脱离这三个方向.注意:阿波罗尼斯圆,圆锥曲线第二定义)跟进训练2.在正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 M、N
6、分别是直线 CD、AB 上的动点,点P 是A1C1D 内的动点(不包括边界),记直线 D1P 与 MN 所成角为,若的最小值为3,则点 P 的轨迹是()A圆的一部分B椭圆的一部分C抛物线的一部分4/7D双曲线的一部分B把 MN 平移到平面 A1B1C1D1中,直线 D1P 与 MN 所成角为,直线 D1P与 MN 所成角的最小值是直线 D1P 与平面 A1B1C1D1所成角,即原问题转化为:直线 D1P 与平面 A1B1C1D1所成角为3,点 P 在平面 A1B1C1D1的投影为圆的一部分,因为点 P 是A1C1D 内的动点(不包括边界),所以点 P 的轨迹是椭圆的一部分故选 B类型 3翻折问
7、题【例 3】如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D,E,F 为圆 O 上的点,DBC,ECA,FAB 分别是以BC,CA,AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得 D,E,F 重合,得到三棱锥当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_cm3.4 15如图,连接 OD,交 BC 于点 G,由题意,知 ODBC,OG36BC设 OGx,则 BC2 3x,DG5x,三棱锥的高 h DG2OG2 2510 xx2x2 2510 x,SABC122 3x3x3 3x2
8、,则三棱锥的体积V13SABCh 3x22510 x325x410 x5.令 f(x)25x410 x5,x0,52,则 f(x)100 x350 x4.令 f(x)0 得 x2.当 x(0,2)时,f(x)0,f(x)单调递增,当 x2,52 时,f(x)0,f(x)单调递减,故当 x2 时,f(x)取得最大值 80,则 V 3 804 15.三棱锥体积的最大值为 4 15 cm3.5/7在解决立体几何中的“动态”问题时,对于一些很难把握运动模型规律的求值问题,可以通过构建某个变量的函数,以数解形.跟进训练3.如图,在直角梯形 ABCD 中,ABBC,ADBC,ABBC12AD1,点E 是线
9、段 CD 上异于点 C,D 的动点,EFAD 于点 F,将DEF 沿 EF 折起到PEF 的位置,并使PFAF,则五棱锥PABCEF的体积的取值范围为_0,13因为PFAF,PFEF,且AF交EF与点F,所以 PF平面ABCEF.设 DFx(0 x1),则 EFx,AF2x,S五边形ABCEFS四边形ABCDSDEF12(12)112x212(3x2)所以五棱锥 PABCEF 的体积为 V(x)1312(3x2)x16(3xx3)令 V(x)12(1x2)0,得 x1 或 x1(舍)当 0 x1 时,V(x)0,V(x)递增,故 V(0)V(x)V(1),V(0)0,V(1)13.所以 V(x
10、)的取值范围是0,13.类型 4动态最值问题【例 4】在正四面体 ABCD 中,E 为棱 BC 的中点,F 为直线 BD 上的动点,则平面 AEF 与平面 ACD 所成二面角的正弦值的取值范围是_23,1本例可用极端位置法来加以分析先寻找垂直:记 O 为ACD 的中心,G 为 OC 的中点,则 BO平面 ACD,EG平面 ACD如图 1,过点 A,E,G 的平面交直线 BD 于点 F.此时,平面 AEF6/7与平面 ACD 所成二面角的正弦值为 1.由图形变化的连续性知,当点 F 在直线 BD 的无穷远处时,看成 EF 和 BD平行,此时平面 AEF 与平面 ACD 所成二面角最小(如图 2)
11、,其正弦值为23.图 1图 2综上可知,平面 AEF 与平面 ACD 所成二面角的正弦值的取值范围为23,1在解决立体几何中的“动态”问题时,对于移动问题,由图形变化的连续性,穷尽极端特殊之要害,往往能直取答案.跟进训练4长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB2,BC1,AA12,P 为该长方体侧面 CC1D1D 内(含边界)的动点,且满足 tanPADtanPBC2 2.则四棱锥PABCD 体积的取值范围是()A0,23B23,23C0,43D23,43B如图所示,在 RtPAD 中,tanPADPDADPD,在 RtPBC 中,tanPBCPCBCPC,因为 tanPADtanPBC2 2,所以 PDPC2 2.因为 PDPC2 2CD2,7/7所以点 P 的轨迹是以 C,D 为焦点,2a22的椭圆如图所示:a 2,c1,b 211,椭圆的标准方程为:x22y21.又 P1(0,1),联立x1x22y21,解得 y22.所以 P21,22,P31,22.当点 P 运动到 P1位置时,此时四棱锥 PABCD 的高最大,所以(VPABCD)max13SABCDP1O132123.当点 P 运动到 P2或 P3位置时,此时四棱锥PABCD 的高最短,所以(VPABCD)min13S四边形ABCDP2D1322223.综上所述:23VPABCD23.
限制150内