高考数学一轮复习——一类过定点问题的不等式恒成立.docx
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1、高考数学一轮复习一类过定点问题的不等式恒成立【方法点拨】【方法点拨】将恒成立问题转化为两函数的位置关系问题,难点在于发现两函数过定点.【典型题示例】【典型题示例】例例 1已知aR,2ln10 xx axxa在1,22x上恒成立,则实数a的取值范围为_【答案】1,3【分析】2ln10 xx axxa在1,22x上恒成立,即对于1,22x,两函数()lnf xx、2()1g xaxxa的函数值异号,亦既是在此范围内,两函数的图象分别位于 x 轴的两侧,故将恒成立问题转化为了两函数的位置关系问题,再进一步发现两函数过定点(1,0),而函数2()1g xaxxa含参,是二次函数,只需对a的符号(即对称
2、轴位置)及端点值进行讨论、限制即可.【解析】1,22x,0 x 2ln10 xx axxa在1,22x上恒成立,即2ln10 x axxa在1,22x上恒成立,设()lnf xx,2()1g xaxxa易知()f x,()g x图象恒过点(1,0),下面对a的符号进行分类讨论.(1)当0a 时,如上图左中,()g x的对称轴在 y 轴的左侧,()g x在对称轴右侧单减且恒过点(1,0),故满足题意.(2)当0a 时,易知满足题意.(3)当0a 时,如上图右中,欲使2ln10 x axxa在1,22x上恒成立只需(2)0g,即(2)310ga,解之得13a,故103a.综上得,实数a的取值范围为
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