【备战2013】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题12 概率 理.doc
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1、【备战2013】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题12 概率 理【2012高考真题精选】(2012浙江卷)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望E(X)X3456P(2)由(1)知E(X)3P(X3)4P(X4)5P(X5)6P(X6).2012重庆卷)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_(用数字作答)72种;(201
2、2上海卷)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_(结果用最简分数表示)(2012江苏卷)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是_(2012福建卷)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x11x2x20x2x2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.
3、82.9将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由(2012广东卷)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是()A. B. C. D.【答案】D(2012辽宁卷)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,
4、CB的长,则该矩形面积小于32 cm2的概率为()A. B. C. D.(2012北京卷)设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A. B. C. D.【答案】D【解析】 设事件A:点到坐标原点的距离大于2.如图11,P(A).图11(2012福建卷)如图11所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()图11A. B. C. D.(2012湖北卷)如图13所示,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()图13A1 B. C. D.
5、【答案】A【解析】如下图所示,不妨设扇形的半径为2a,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4,则S1S2S3S4S扇形OAB(2a)2a2,而S1S3与S2S3的和恰好为一个半径为a的圆的面积,即S1S3S2S3a2.由得S3S4;又由图可知S3S扇形EODS扇形CODS正方形OEDCa2a2,所以S阴影a22a2.故由几何概型概率公式可得,所求概率P1.故选A.(2012湖南卷)函数f(x)sin(x)的导函数yf(x)的部分图象如图15所示,其中,P为图象与y轴的交点,A,C为图象与x轴的两个交点,B为图象的最低点(1)若,点P的坐标为,则_;(2)若在曲
6、线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在ABC内的概率为_(2012陕西卷)图13是用模拟方法估计圆周率值的程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入()图13AP BPCP DP(2012重庆卷)设f(x)a ln xx1,其中aR,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值解得a1.(2012重庆卷)设f(x)a ln xx1,其中aR,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值(2012湖南卷)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾
7、客的相关数据,如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率(注:将频率视为概率)【解析】解:(1)由已知得25y1055,x3045,所以x15,y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为10
8、0的简单随机样本,将频率视为概率得(2012安徽卷)某单位招聘面试,每次从试题库中随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束试题库中现共有nm道试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类型试题的数量(1)求Xn2的概率;(2)设mn,求X的分布列和均值(数学期望)【解析】解:以Ai表示第i次调题调用到A类型试题,i1,2.(1)P(Xn2)P(A1A2).(2)X的可能取值为n,n1,n2.P(Xn)P( ),P(Xn1
9、)P(A1)P(A2),P(Xn2)P(A1A2),从而X的分布列是Xnn1n2PEXn(n1)(n2)n1.(2012课标全国卷)某一部件由三个电子元件按图14方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_(2012浙江卷)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和(1)求X的分布列;(2)
10、求X的数学期望E(X)(2012江苏卷)设为随机变量从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1.(1)求概率P(0);(2)求的分布列,并求其数学期望E()【解析】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8C对相交棱,因此P(0).(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,故P(),于是P(1)1P(0)P()1,所以随机变量的分布列是01P()因此E(x)1.(2012江西卷)如图14,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0)
11、,B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V0)(1)求V0的概率;(2)求V的分布列及数学期望EV.(2012全国卷)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换每次发球,胜方得1分,负方得0分设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中,甲先发球(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(2)表
12、示开始第4次发球时乙的得分,求的期望0.40820.35230.0961.400.(2012重庆卷)设f(x)a ln xx1,其中aR,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值(2012陕西卷)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望【解析】
13、解:设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列如下:Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A对应三种情形:所以P(X0)P(Y2)0.5;X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01;P(X1)1P(X0)P(X2)0.49.所以X的分布列为X012P0.50.490.01EX00.510.4920.010.51.(2012辽宁卷)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查下面是根据调查结果绘制的观众日均收
14、看该体育节目时间的频率分布直方图图16将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”(1)根据已知条件完成下面的22列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X)附:2,P(2k)0.050.01k3.8416.635(2012课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完,剩
15、下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由(2012湖南卷)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数
16、据,如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率(注:将频率视为概率)(2012湖北卷)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施
17、工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:(1)工期延误天数Y的均值与方差;(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率(2012广东卷)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图14所示,其中成绩分组区间是:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100(1)求图中x的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望(2012安徽卷)某单位招聘面试,每次从试题库中随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道
18、A类型试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束试题库中现共有nm道试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类型试题的数量(1)求Xn2的概率;(2)设mn,求X的分布列和均值(数学期望)【解析】解:以Ai表示第i次调题调用到A类型试题,i1,2.(1)P(Xn2)P(A1A2).(2)X的可能取值为n,n1,n2.(2012福建卷)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌
19、轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x11x2x20x2x2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由【解析】解:(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事
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