高数(下)复习大纲.docx
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1、高数(下)复习大纲 CH7向量代数与空间解析几何1 UUL向量 =041UU1 自由向量。,向径。4 模 |。|rAr 向量夹角(人) 分解式a =+生女 ,坐标式(4,4V,生),方向角/氏/ (方向余弦cos % cos 尸,cos / ) 运算i i 和:a+b = (ax + 4,v +by,az +久)i 数乘:Aa =/lciz)a-b = axbx + ayby + a_b2 =a-b cos( )Jaby 数量积(点乘):r r r r IT,|ax/?|=|a|.g|sin(0)axb = 矢量积(叉乘):r r r 混合积:abc= b b bz (= h c a = c
2、a b) % s 6运算与几何关系 和:。+的方向介于a,之间(当| a |=|时,恰在角平分线上) 数乘:4。与;平行(40时同向;丸0时反向) 数量积(点乘):f(x, g(x)+ g (x)2dx (或 JJ(g(y), y)Jl + gdy ) 非直角坐标(极坐标):p = g ae0 /n (或V几) 收敛的充要条件:s有界 比拟审敛法00 一般形式:设%/匕2。Vzio假设、收敛,n=00那么X乙也收敛;假设=1008X匕发散,贝也发散=1=1极限形式:设lim% = /。假设0/oo,“f 8 口n0000贝z匕,同敛散n=n=比值审敛法:设lim- = /。假设/1,Unn=8
3、那么入n=00发散;假设/=i,那么敛散性无法确定=18根值审敛法:设1而匹=/。假设/收敛;假设/1, 一8 Vn=8那么X.n=00发散;假设/=i,那么z%敛散性无法确定n=i 重要结论00 等比级数当且仅当|如i时收敛00Z77=1当且仅当二1,或。=1且尸1时收敛 交错项级数:%=(1),ufl0 V00 莱布尼茨判别法:假设, lim =0 ,那么收敛-8n= 一般数项级数00008 Z%绝对收敛:收敛(=Z%收敛)=1n=n=000000 z%条件收敛:Eui发散,但Z为收敛n=n=77=1 绝对值形式的比值审敛法:设lim=/。假设/1,那么z%发散;假设,=1,那么敛散性无法
4、确定 =172=18函数项级数Z力,XG/n=函数项级数收敛的定义 通项力(X),局部和函数列/O ”/ 级数的收敛点x = /: Z力(X。)收敛 /=100 级数的发散点X = X。: Z4(X。)发散 n= 级数的收敛域。、发散域/ 。、和函数S(X),X。幕级数/二0 阿贝尔定理及其简单应用000000 假设收敛,那么当1幻石发散,那么RWI/In=0w=0 收敛半径H、收敛区间(-R,R)、收敛域 幕级数的运算 四那么运算(了解) 求导设4% = s(x), x e (-R, /?),那么:二()800S (x) = Z(ax) = Z ,% e (-R R)n=0n- 积分设anx
5、n = s(x), x e (一R, R),那么:=000oc力这力这=()n=iR,R) + l 简单基级数的和函数 利用幕级数的和函数,确定常数项级数的和函数/(X)展开成幕级数 定义 泰勒级数:浮,。)(X_%) =0加8 f(n)(x )函数能展开成泰勒级数:/(x) = y 7 k x-xor;xe U(x0)n=0加 函数能展开成幕级数:存在4:。,使得00/(x) = Z4(工一工。)/)n=0 展开点:x = x()oc 麦克劳林级数:Z二0广)(。)/n 泰勒级数存在的充分条件(了解):/(X)在x = x的某个邻域内有任意阶导数函数能展开成基级数的充分条件 直接法求函数的泰
6、勒级数(公式):/(x) = =()旦 XT)n 函数能展开成泰勒级数的充要条件(了解)%(%)=/(%) 与兽(f 产=k=() R!(X7。严-0,Vx, 几个常用函数的麦克劳林展开式(公式)及其应用 麦克劳林公式: ex = V-x ,一 oox+8 白加工 f-1Y? sinx = Vf+i -oox +oo士(2 + 1)! cos X = 7 X2, -00 X +00(2)!00 (1 + xr =C;X,-Kxl77=0 ln(l + x) =1 xl=o + l18= Yx-lx 1 - x n=0 arctanx = Vx2n+-l x2线性、非线性解(函数) 特解,通解,
7、一般解 显(函数形)式(的)解:y = g(x) 隐(函数形)式(的)解:g(x,y) = O 初始条件(定解条件),定解问题 一阶方程的形式及其解法(变量)可别离型形式:y=f(x)g(y) 解法 别离:g(y)dy = fxdx积分: g(y)dy = f(x)dx齐次方程 形式:y=/ 2 解法助一 人y,/()一 /十日r 八、 换兀:令=上二=(变量可分禺型) 求解: = G(X,C) (C为任意常数) 回代:y = xG(羽C) (C为任意常数)可化为齐次方程的方程形式:/平+/+。、 a2x + b2y + c2) 解法(换元,求解,回代) 一阶线性方程 形式:y+P(%)y =
8、。(%) 解法 线性齐次(。(刈三0):按变量可别离型求解,得=。6一1% 线性非齐次(Q(x)wO):常数变易法,得+(C为任意常数)/贝努利方程 形式:y+PMy = Q(x)ya (二。0,1) 解法 换元:令 =y j n u = (l-a)y-u+ (l-a)P(x)u = (l-a)Q(x)(一阶线性) 求解:“ =eJ(l-a)Q(x)ea)%r + C(C为任意常数)1 回代:产卜小。0a)Q(%) 非齐次项(Q(x)线性齐次方程w公+ C)H(。为任意常数)全微分方程形式:P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,满足:_2 =竺 dx dy 解法(公式):P(x,
9、%)公+ f P(x,y)dy = C或P(xQ,y)dy+ f P(x, y)dx = CJ 与J)bJ%J%(C为任意常数)特殊二阶方程的(换元)降阶法不显含y形式:V,= /(%) 令 y = = u(x) = / = y = / = f(x,u)(一阶方程)不显含x形式:V = /(yy)人, /、, du dy dx yH *y = = (y) =,= dy dx dy u 阶线性微分方程基本概念几阶线性微分方程的形式严 + 产)+ )产)+ + 5t(x)V+ Pn(x)y = Q(x) . 2)zrArx a-bcosQ b) = TaVbi ii i Z? = 0。力垂直 矢量
10、积(叉乘): r r.A axb sinQ 垃二 t1。|加 同时垂直于凡匕 axb = Ooa, 平行1 混合积: illiii q Z? c = 0 o a,b.c 共面uuh uum uum AB AC AD = 0 o A 氏 C, D共面曲线曲面常用二次曲面22,X V 1椭圆柱面:如一5 H 1“2 b2抛物柱面:如 y = ax2222椭球面:如=+七+二=1a2 b2 c222椭圆锥面:如Z2=j +二6r b-单叶双曲面:,x如_a222“y 一z1- i2b2c2双叶双曲面:如二a92上-Jb2 C2抛物面:如z22X y二晨+记y + 4(x)yg)+ 6(x)y50 +
11、.十“(1,+ Pj(x)y = Q (0) 线性非齐次方程严+ (x)y5f +外*-2) +月1(尤)歹+勺(% = 0(%) 函数组工(幻,力(幻,(x)(XG/)线性相关、线性无关 线性相关:存在一组不全为0的常数人次2,次”使得%/(%) + k2f2(x) + + (%)三。(VXG /) 线性无关:对任意一组不全为o的常数匕欢2,,左,总有/(/)+&人(/)+ +幻 4(/)。 特别地, /(x)J(x) (xeZ)线性相关o型D三常数(VxeZ); -启(23时,结论不正确) 包含0的函数组必定线性相关解的结构 叠加原理:设X (%), %。)分别是线性微分方程:y()+(x
12、)y(i)+ 鸟(%)/-2)+ +(%” = Q(x)严 + 租%)6 + 2产 2)+ + pn(x)y = Q2(x)的解,那么:X(X)+2(X)是方程y + 6 (x)/T)+ p2 (幻产)+ + 2(%)y = QG)+ & (%)的解 线性齐次方程(0) 解的任意线性组合设. (%), % (%),% (%)都是(E0)的解(齐次解), 22,,,是一组任意取定的常数。那么 mZ kiy(X)=匕 Y(X)+ %2为。)+ + k,nXn(X)仍是(0)的解 通解的形式:设必(X), %(X),以(X)是(。)的几个线性无关的解,那么(石0)的通解为:y = G 必 + C2y
13、2 (x) + + G% (x)(。1,。2,一,6为任意常数) 线性非齐次方程(El) 解的任意线性组合设X (%),%(X),(X)都是(1)的解(非齐次解),K , %2,心是一组任意取定的常数,记忆=占+公+ +(。那么m 当=。时,z&y,(x)是(石)的解z=i ? 当左=1时,X(x)是(刘)的解/=1 当左。0,1时,既不是(石0)的解,也不是(石1)的解, /=i 确定特征方程的根(特征根)及其重数(虚根按共辄成对写):4(匕重),4(A重),4(L 重) 根据特征根构造齐次特解 是重实特征根:%,%,尸/“ A = a + ih (力尺。工0)是一对左重(共貌)虚特征根:c
14、osbx, Me cosbx,-,xkxeax cosbx sin bx,sin Z?x,W sin bx 构造齐次通解:上一步构造的所有函数,各自乘以不同的任意常数, 再相加,那么为齐次通解 特殊的线性常系数非齐次方程求解 求解对应的线性齐次微分方程,并得到齐次通解治 根据非齐次项,确定(非齐次)特解y 代入线性非齐次方程,比拟对应项系数,确定待定系数4,A1,,4;纥,当,,纥,得到* 构造非齐次通解:, = / + *应用几何(切线、法线) 分析几何关系,建立微分方程 求解微分方程得到通解 代入初始条件得到特解 Q(x) =A是k重实特征根设 y* =1* (。()+ a x Hb am
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