2021年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)(含解析版) .pdf
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1、绝密启用前20192019 年全国统一高考数学试卷(文科)年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标(新课标)一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,共60 分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合A 1,0,1,2,B x x 1,则AA1,0,12若z(1i)2i,则 z=A1iB1+iC1iD1+iB0,12B D0,1,2C1,13两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是A16B14C13D124西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100 学生,其中阅读
2、过西游记或红楼梦的学生共有 90 位,阅读过红楼梦的学生共有 80位,阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位,则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A0.5B0.6C0.7D0.85函数f(x)2sinxsin2x在0,2 的零点个数为A2B3C4D56已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15,且 a5=3a3+4a1,则 a3=A 16B 8C4D 27已知曲线y aex xln x在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则Aa=e,b=-1Ba=e,b=1Ca=e-1,b=1D a=e-1,b 18如图,点 N 为正方形 ABCD 的中心,ECD
3、为正三角形,平面 ECD平面 ABCD,M是线段 ED 的中点,则ABM=EN,且直线 BM、EN 是相交直线BBMEN,且直线 BM,EN 是相交直线CBM=EN,且直线 BM、EN 是异面直线DBMEN,且直线 BM,EN 是异面直线9执行下边的程序框图,如果输入的为0.01,则输出s的值等于A.2142B.2152C.2162D.2172x2y210O 为坐标原点,已知F 是双曲线C:点 P 在 C 上,若OP=OF,1的一个焦点,45则OPF的面积为A32B52C72D92x y 6,11记不等式组表示的平面区域为 D.命题p:(x,y)D,2 x y 9;命题2x y 0q:(x,y
4、)D,2 x y 12.下面给出了四个命题p qp qpqpqABCD12设fx是定义域为 R R 的偶函数,且在0,单调递减,则1Af(log3)f(22)f(23)413Bf(log3)f(2)f(22)432232332Cf(2)f(2)f(log31)41)4Df(223)f(232)f(log3二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13已知向量a a (2,2),b b (8,6),则cos a a,b b _.14记 Sn为等差数列an的前 n 项和,若a3 5,a713,则S10_.x2y2+1的两个焦点,M 为 C 上一点且在第一象限.若MF1F215设F
5、1,F2为椭圆 C:3620为等腰三角形,则 M 的坐标为_.16学生到工厂劳动实践,利用 3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥 O EFGH 后所得的几何体,其中 O 为长方体的中心,E,F,G,H 分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm,3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为_g.三、解答题:共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 60 分。17(12 分)为了
6、解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).18(12 分)ABC的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知asinAC
7、bsin A2(1)求 B;(2)若ABC 为锐角三角形,且 c=1,求ABC 面积的取值范围19(12 分)图 1 是由矩形 ADEB、RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形,其中 AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿 AB,BC 折起使得 BE 与 BF 重合,连结 DG,如图 2.(1)证明图 2 中的 A,C,G,D 四点共面,且平面 ABC平面 BCGE;(2)求图 2 中的四边形 ACGD 的面积.20(12 分)已知函数f(x)2x ax 2.32(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0a3时,记f(x)在区间0,1的最大值为M,最小值为m,求M m的取值范围.
8、21(12 分)1x2y=D 为直线 y=上的动点,已知曲线 C:,过 D 作 C 的两条切线,切点分别为 A,22B.(1)证明:直线 AB 过定点:(2)若以 E(0,方程.(二)选考题:共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)如图,在极坐标系 Ox 中,A(2,0),B(2,),C(2,5)为圆心的圆与直线 AB 相切,且切点为线段 AB 的中点,求该圆的24),D(2,),弧AB,BC,4曲线M1是弧AB,曲线M2是弧BC,CD所在圆的圆心分别是(1,0),(1,),(1,),曲线M3是弧CD.(
9、1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在 M 上,且|OP|23,求P 的极坐标.23选修 4-5:不等式选讲(10 分)设x,y,zR,且x y z 1.222(1)求(x1)(y 1)(z 1)的最小值;(2)若(x2)(y 1)(z a)2221成立,证明:a3或a1.320192019 年全国统一高考数学试卷(文科)年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标(新课标)参考答案参考答案一、选择题1A2D3D4C5B6C7D8B9C10 B11A12C二、填空题132101410015(3,15)16118.8三、解答题17解:(1)由已知得0.7
10、0=a+0.20+0.15,故a=0.35b=10.050.150.70=0.10(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.0018解:(1)由题设及正弦定理得sin AsinACsinBsin A2因为sinA0,所以sinACsinB2ACBBBB cos,故cos 2sincos22222由ABC 180,可得sin因为cosBB1 0,故sin,因此B=602223a4(2)由题设及(1)知ABC的面
11、积SABCcsin Asin120 C31由正弦定理得a sinCsinC2tanC2由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C0,则当x(,0)a.3 aa,x时,;当f(x)00,时,f(x)0故33 aa f(x)在(,0),单调递增,在0,单调递减;33若 a=0,f(x)在(,)单调递增;若 a0,则当x,a a(0,)x时,;当f(x)0,0时,f(x)0故33a af(x)在,(0,)单调递增,在,0单调递减.33(2)当0 a 3时,由(1)知,f(x)在0,a a单调递减,在,1单调递增,所33a3 a 2,最大值为f(0)=2或f(1
12、)=4a.于是以f(x)在0,1的最小值为f 3274a,0 a 2,a3m 2,M 272,2 a 3.a32a,0 a 2,27所以M m 3a,2 a 3.27a3 8,2.当0 a 2时,可知2a单调递减,所以M m的取值范围是2727a38当2 a 3时,单调递减,所以M m的取值范围是,1).2727综上,M m的取值范围是21解:(1)设Dt,8,2).271,2Ax1,y1,则x12 2y1.12 x.由于y x,所以切线DA的斜率为x1,故1x1ty1整理得2 tx12 y1+1=0.设Bx2,y2,同理可得2tx22 y2+1=0.故直线AB的方程为2tx 2y 1 0.所
13、以直线AB过定点(0,).(2)由(1)得直线AB的方程为y tx121.21y tx22由,可得x 2tx 1 0.2y x2于是x1 x2 2t,y1 y2tx1 x21 2t 1.2设M为线段AB的中点,则Mt,t 21.2由于EM AB,而EM t,t22,AB与向量(1,t)平行,所以t t22 t 0.解得t=0或t 1.5当t=0时,|EM|=2,所求圆的方程为x y 4;2225当t 1时,|EM|2,所求圆的方程为x2y 2.222.解:(1)由题设可得,弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为 2cos,2 2sin,2cos.所 以M1的 极 坐 标 方 程 为 2co
14、s0,M2的 极 坐 标 方 程 为4 2sin433M 2cos,的极坐标方程为3.44(2)设P(,),由题设及(1)知,则2cos3,解得;4632若,则2sin3,解得或;443335若.,则2cos3,解得46若0 综上,P的极坐标为3,2 5 3,3,3,或或或.663323解:(1)由于(x1)(y 1)(z 1)2(x1)2(y 1)2(z 1)22(x1)(y 1)(y1)(z 1)(z 1)(x1)222 3(x1)(y1)(z 1),故由已知得(x1)(y 1)(z 1)当且仅当x=2224,3511,y ,z 时等号成立3334222所以(x1)(y 1)(z 1)的最
15、小值为.3(2)由于(x2)(y 1)(z a)2(x2)2(y 1)2(z a)22(x2)(y 1)(y 1)(z a)(z a)(x2)222 3(x2)(y1)(z a),(2a)2故由已知(x2)(y1)(z a),3222当且仅当x 24a1a2a2,y,z 时等号成立33322(2a)2因此(x2)(y 1)(z a)的最小值为3(2a)21由题设知,解得a3或a133绝密绝密启用前启用前20192019 年全国统一高考数学试卷(文科)年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标(新课标)答案解析版答案解析版一、一、选择题:选择题:本题共本题共 1212 小题,小题,每小题每小题 5
16、5 分,分,共共 6060 分分,在每小题给的四个选项中,在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.21.已知集合A 1,0,1,2,B x x 1,则AB()A.1,0,1B.0,1C.1,1D.0,1,2【答案】A【解析】【分析】先求出集合 B 再求出交集.【详解】由题意得,B x 1 x 1,则AB【点睛】本题考查了集合交集的求法,是基础题.2.若z(1 i)2i,则zA.1,0,1故选 A()B.1i1+iC.1iD.1+i【答案】D【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】z 2i2i(1i)1i故选 D1i(1i)(1i)【点睛】本题考查复数
17、的商的运算,渗透了数学运算素养采取运算法则法,利用方程思想解题3.两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.12【答案】D【解析】【分析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率,进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列,因为男生和女生人数相等,两位女生相邻与不相邻的排法种数相同,所以两位女生相邻与不相邻的概率均是1故选 D2【点睛】本题考查常见背景中的古典概型,渗透了数学建模和数学运算素养采取等同法,利用等价转化的思想解题4.西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生
18、阅读四大名著的情况,随机调查了100 学生,其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90 位,阅读过红楼梦的学生共有80 位,阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位,则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5【答案】C【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数,进而得解.【详解】由题意得,阅读过西游记的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数之100=07故选 C比为 70【点睛】本题考查抽样数据的统计,渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法,利用转化与化归思想解题5.函数f(x)2sinx sin2 x在A.2【答案】B【解析】B.0.6C.0.7
19、D.0.80,2 的零点个数为()C.4D.5B.3【分析】令f(x)0,得sinx 0或cosx 1,再根据 x 的取值范围可求得零点.【详 解】由f(x)2sin x sin 2x 2sin x 2sin xcos x 2sin x(1 cos x)0,得sinx 0或cosx 1,x0,2,x 0、或2 f(x)在0,2的零点个数是3 故选 B【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数,渗透了直观想象和数学运算素养 采取特殊值法,利用数形结合和方程思想解题6.已知各项均为正数的等比数列A.16【答案】C【解析】【分析】利用方程思想列出关于a1,q的方程组,求出a1,q,再利用通项公式即
20、可求得a3的值B.8an的前 4 项和为 15,且a53a34a1,则a3()C.4D.2a1 a1q a1q2 a1q315,【详解】设正数的等比数列an的公比为q,则4,2a1q 3a1q 4a1a11,2解得,a3a1q 4,故选 Cq 2【点睛】应用等比数列前n项和公式解题时,要注意公比是否等于1,防止出错7.已知曲线yaeA.a e,b 1xxlnx在点1,ae处的切线方程为y 2x b,则()B.a e,b 1C.ae1,b1D.ae1,b1【答案】D【解析】【分析】通过求导数,确定得到切线斜率的表达式,求得,将点的坐标代入直线方程,求得b【详解】详解:y/aexlnx1,k y/
21、|x1 ae1 2a e1将(1,1)代入y 2x b得2 b 1,b 1,故选 D【点睛】准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导数的运算法则掌握不熟,二导致计算错误求导要“慢”,计算要准,是解答此类问题的基本要求8.如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM EN,且直线BM,EN是异面直线【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系,再结合勾股定理进而解决问题【详解】BDE,N为BD中点M为DE中点,
22、BM,EN共面相交,选项 C,D为错作EOCD于O,连接ON,过M作MFOD于F连BF,平面CDE平面ABCDEO CD,EO 平面CDE,EO 平面ABCD,MF平面ABCE,MFB与EON均为直角三角形设正方形边长为 2,易知EO 3,0N 1EN2,MF 32,BF 229452 BM 342447BM EN,故选 B【点睛】本题为立体几何中等问题,考查垂直关系,线面、线线位置关系.9.执行如图所示的程序框图,如果输入的为0.01,则输出s的值等于()A.2 124B.2 125C.2 1262 127【答案】D【解析】【分析】根据程序框图,结合循环关系进行运算,可得结果.D.【详解】x
23、 1.S 0,x S 01,x 1 0.01?不成立2S 0 11,2121 0.01?不成立41 0.0078125 0.01?成立128S 0 11,26x 17111 2S 1 2 1D输出67,故选1222121【点睛】循环运算,何时满足精确度成为关键,加大了运算量,输出前项数需准确,此为易错点x2y210.已知F是双曲线C:1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点,若45OP=OF,则OPF的面积为()A.32B.52C.72D.92【答案】B【解析】【分析】设Px0,y0,因为OP=OF再结合双曲线方程可解出Px0,y0y0,再利用三角形面积公式可求出结果.【详 解】设 点x02y0
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