高数高数课1—8.ppt
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1、高等数学(A)第一章 第八节,函数的连续性,第八节 函数的连续性,一、函数的连续与间断,二、连续函数的基本性质,三、闭区间上连续函数的性质,四、小结 提高题,一、 函数的连续与间断,自然界中有许多现象,植物的生长等等, 都是连续变化着的.,如气温的变化, 河水的流动,这种现象在函数,就是函数的连续性.,关系上的反映,例如就气温的变化,当时间变动很小时,来看,气温的变化也很小,就是所谓连续性 .,这种特点,可见 ,1. 函数连续的定义,定义1,设函数f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义 ,则称函数f(x)在点x0连续,(1),(2) 极限,(3),必须具备下列条件:,存在 ;,且有,f(x)
2、在点x0有定义 ,即 f(x0)存在 ;,函数f(x)在点x0连续,x0称为函数f(x)的连续点.,如果f(x)在(a,b)内每一点都连续.则称f(x)在(a,b)内连续.,这时,区间(a,b)称为函数f(x)的连续区间.,如果f(x)在(a,b)内连续,且在a点右连续,在b点左连续,,则称f(x)在a,b上连续.,例1.,证:,证明函数f(x)=3x2-1在x=1处连续.,因为 f(1)=31-1=2,且,故 函数f(x)=3x2-1,在x=1处连续.,=2 =f(1),例 2. 证明函数y=f(x)=|x|,在x=0 处连续.,证:,y=f(x)=|x|在x=0处的邻域内有定义,,且 f(
3、0)=0,所以 , y=f(x) 在 x=0 处连续.,= 0 =f(0),例3.,证:,由定义1知,函数f(x)在x=0处连续。,2.单侧连续,定义2,设函数f(x)在点x0及其某个左(右)邻域内有定义.,且有,则称函数f(x)在点x0,是左(右)连续的,函数f(x)在点x0的左、右 连续性,,统称为函数的,单侧连续性.,f(x)在点 x0连续的充要条件是:,f(x)在点 x0,定理1,左连续且右连续.,即,例4.,问a为何值时,f (x)在x=0连续.,解:,= 3,f (x)在 x = 0右连续.,为使 f (x)在x=0连续, 必须 f (00)=f (0)=f (0+0),即, a=
4、3.,故, a=3时, f (x)在x=0连续.,= a,f (0)=3,例5.设,问 f (x)在x=0是否连续.,解:,=1,右连续.,故, f (x)在x=0处不连续.,= 1, f (0),不左连续.,图形为,f (0)=1,解:,f(x)在(-,+)上连续., f(x)在(-,0),(0,+)上显然连续,而,且 f(0)=a,即 a=1,所以,当a=1时,,例6. 怎样选取a的值,使,在(,+)上连续?,当 f (x)在x=0处连续时.,f-(0)=f+(0)=f(0),注:,(1) u是一个记号,是一个不可分割的整体.,(2) u可正,可负,可为零.,3. 函数的增量(改变量),变
5、量u从一个初值u1变到终值u2,,即,增量,. . . .,则u2- u1称为变量u的,记做u ,u= u2- u1,u2= u1+u,有自变量的增量x,函数 f(x)的增量,0,对函数 f(x)来说,,f(x)连续的意思是x很小时, y也很小.,即:当x 0时, y 0。,y= f(x0 +x )- f(x0),定义3,则称函数f(x)在点x0处连续.,如果,,处的单侧连续.,可类似地用增量形式描述.,左连续,右连续,连续有下列等价命题:,设函数y=f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义 ,y=f(x)在点x0,函数f(x)在点x0,4. 函数的间断点,定义4,而f(x)在x0处不连续,
6、,则称x0,是函数f(x)的一个,间断点.,函数f(x)在x0处间断有下列三种情形:,不存在;,存在 ,但,虽有定义 ,但,虽有定义 ,且,无定义 ;,设 y=f(x)在点x0的任何去心邻域内存在有定义的点,(1) 函数f(x)在x0,(2) 函数f(x)在x0,(3) 函数f(x)在x0, f(x0),5. 间断点的分类,可去间断点是:,存在,但,的点,,若补充或改变函数在点x0处的值为,则可得到一个在点x0处连续的函数,,这就是为什么把这类间断点称为可去间断点。,例7.,解:,注意:可去间断点只要改变或者补充间断点处函数,的定义,则可使其变为连续点., x=0为函数的可去间断点,如例9中,
7、在 x=1处连续,例8. 考虑函数,在 x0=0处的连续性.,解:,由于,但在 x0=0处,,函数,无定义,,故,在 x0=0处不连续。,若补充定义函数值 f(0)=1,则函数,在x0=0处连续.,例9. 讨论函数,解:,在x0=0处的连续性.,由于,而,由定义知函数 f(x),在 x0=0处不连续.,若修改函数 f(x)在 x0=0的定义,,令 f(0)=0,则函数,在点x0=0处连续.,例10. 讨论函数,在点x0=0处的连续性.,解:,点x0=0为函数f(x)的跳跃间断点,,由于,例11.,解:,x=0为函数的第二类间断点,这种情况称为无穷间断点,例12. 讨论函数,解: 由于,在点x0
8、=0处的连续性.,不存在,,随着x趋近于零,,函数值在,-1与1之间来回振荡,,故函数在点x0=0处间断。,则,称点x0=0为函数y=f(x)的振荡间断点.,二、连续函数的基本性质,定理2 (连续函数的局部保号性),若函数 f(x)在点x0处连续,,(或 f(x0)0),则存在 x0的某个邻域,,使得当 x U(x0)时有,1. 连续函数的局部保号性,且 f(x0)0,f(x)0 (或 f(x)0 ),定理3. 若 f (x), g(x)在点 x0处连续, 则,(1) af (x)+bg(x),(2) f (x) g(x),(3) 当 g(x0)0时,2. 连续函数的和、积及商的连续性,例如,
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