数学物理方程学习者的福利.ppt
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1、数学物理方程学习者的福利现在学习的是第1页,共78页 参考参考书目目同同济大学大学.高等数学(第六版)高等数学(第六版).高等教育出版高等教育出版社社谢树艺.矢量分析与矢量分析与场论.高等教育出版社高等教育出版社王元明王元明.数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数.高等教育出高等教育出版社版社杨华军.数学物理方法与数学物理方法与计算机仿真,算机仿真,电子工子工业出出版社版社现在学习的是第2页,共78页0 预备知识现在学习的是第3页,共78页 I场如果在全部空间或部分空间(某区域)中的每一点都对应着某个物理量的一个确定的值,就称在这个区域确定了该物理量的一个场。数量场矢量场稳定场不稳定场*
2、0 0 预备知识预备知识预备知识预备知识1场的概念(高数2 P107)现在学习的是第4页,共78页 2.场的记法数量场:*0 0 预备知识预备知识预备知识预备知识矢量场:例1 设点电荷q位于坐标原点,则在其周围一点M(x,y,z)处产生的电场强度为:现在学习的是第5页,共78页 II数量场的方向导数与梯度1方向导数*0 0 预备知识预备知识预备知识预备知识设M0为数量场u=u(x,y,z)中的一点,从M0出发的射线l,在l上取点M,记|M0M|=t.当MM0时,t 0+.如果存在,则称此极限值为u(M)在点M0处沿方向l的方向导数,记为 现在学习的是第6页,共78页Th1 如果u=u(x,y,
3、z)在M0点处可微,则u在M0沿任意方向的方向导数都存在,且有答案:*0 0 预备知识预备知识预备知识预备知识例2 求 在点M(1,0,1)处沿方向的方向导数.现在学习的是第7页,共78页解:先求在点M(2,3)处沿曲线y=x2-1向x增大一方的方向余弦.*0 0 预备知识预备知识预备知识预备知识例3 求u=3x2y-y2在点M(2,3)处沿曲线y=x2-1向x增大一方的方向导数.曲线y=x2-1的向量形式:现在学习的是第8页,共78页1梯度*0 0 预备知识预备知识预备知识预备知识设M0为数量场u=u(x,y,z)中的一点,定义M0的梯度为向量微分算子:注1 方向导数等于梯度在该方向上的投影
4、;2 函数u在M点的梯度指向函数u增加最快的方向;3 设矢量场A(P,Q,R),若存在一个函数u满足 A=gradu,则称A为一个有势场现在学习的是第9页,共78页*0 0 预备知识预备知识预备知识预备知识例4 求u=xy2+yz3在点M(2,-1,1)处的梯度和沿梯度方向的方向导数.答案:例5 求a,b,c,使函数u=axy2+byz+cy2z3在点M(1,2,-1)处平行于z轴方向的方向导数取得最大值32.答案:a=3,b=12,c=-4,或a=-3,b=-12,c=4现在学习的是第10页,共78页 III矢量场的散度与旋度1散度*0 0 预备知识预备知识预备知识预备知识矢量场A=(P,Q
5、,R)在点M(x,y,z)的散度定义为例6 在例1中,电位移矢量,求divD.答案:0现在学习的是第11页,共78页2 旋度*0 0 预备知识预备知识预备知识预备知识矢量场A=(P,Q,R)在点M(x,y,z)的旋度定义为复习向量乘积(数量积,向量积)Th2 对于单连通域中的矢量场A为无旋场的充要条件为:A为有势场.定义 若 ,就称A为无旋场.现在学习的是第12页,共78页*0 0 预备知识预备知识预备知识预备知识例7 求矢量场A=(xy2z2,z2siny,x2ey)的旋度.例8 证明例1中的,电场强度场E为无旋场,从而为有势场.现在学习的是第13页,共78页 IV 其他1 Green公式,
6、Gauss公式*0 0 预备知识预备知识预备知识预备知识3 Fourier级数(高数2)2 一阶二阶线性微分方程求解(高数1)三角函数系的正交性,Fourier级数的系数如何确定,Fourier级数的存在定理现在学习的是第14页,共78页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 课程的内容课程的内容三种方程、四种求解方法、二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、热传导、拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数 数学物理方程定义数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。现在学习的是第15页,共78页 研究数学物理方程的建立、求研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物
7、理意义的分析。解方法和解的物理意义的分析。现在学习的是第16页,共78页第一章第一章第一章第一章 概论概论概论概论现在学习的是第17页,共78页1.1 基本概念现在学习的是第18页,共78页微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程常微分方程:未知函数为一元函数的微分方程.偏微分方程:未知函数为多元函数的微分方程*1.1.1 1.1.1 微分方程简介微分方程简介现在学习的是第19页,共78页例如例如都是偏微分方程都是偏微分方程,1 1 基本概念基本概念基本概念基本概念现在学习的是第20页,共78页偏微分方程的阶偏微分方程的阶:方程中未知函数的偏导的最高方程中未知函数的偏导的最
8、高阶数阶数是二阶偏微分方程是二阶偏微分方程是三阶偏微分方程是三阶偏微分方程.例例:1 1 基本概念基本概念基本概念基本概念现在学习的是第21页,共78页线性偏微分方程线性偏微分方程:对于未知函数及其所有偏导数来对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的,且方程中的系数都仅依赖于自变量说都是线性的,且方程中的系数都仅依赖于自变量(或者为常数)(或者为常数)非线性偏微分方程非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程不是线性的偏微分方程例例是二阶线性偏微分方程是二阶线性偏微分方程是非线性偏微分方程是非线性偏微分方程1 1 基本概念基本概念基本概念基本概念现在学习的是第22页,共78页线性偏微分方程线性偏微
9、分方程分为分为常系数和变系数的两类常系数和变系数的两类 常系数常系数的方程中未知函数及其所有偏导数都是的方程中未知函数及其所有偏导数都是常数常数;变常系数;变常系数的方程中未知函数及其所有偏导数不全都是的方程中未知函数及其所有偏导数不全都是常数常数。解解(古典解古典解)若在某区域内一个函数及其各阶连续若在某区域内一个函数及其各阶连续的偏导数满足某偏微分方程的偏导数满足某偏微分方程,则称此函数为该方程在则称此函数为该方程在这个区域内的一个解这个区域内的一个解(古典解古典解).).1 1 基本概念基本概念基本概念基本概念现在学习的是第23页,共78页例例1.1.1 1.1.1 求函数求函数u=u(
10、x,y),满足满足ux=y.解解 对方程两边求对方程两边求x的积分,得的积分,得u=xy+f(y)这里这里f f为任意可微函数为任意可微函数.这个函数就是方程的通解这个函数就是方程的通解.1 1 基本概念基本概念基本概念基本概念例例1.1.2 1.1.2 求方程求方程uxy=2的通解的通解.解解 对方程两边依次求对方程两边依次求y,y,x的积分,得的积分,得u=2xy+h(x)+g(y)这就是方程的通解这就是方程的通解,其中其中f,gf,g为任意可微函数为任意可微函数.现在学习的是第24页,共78页1.1.2定解条件与定解问题特定条件特定条件准确说明对象的初始状态以及边界上的约准确说明对象的初
11、始状态以及边界上的约束条件束条件-定解条件定解条件 用以说明初始状态的条件称为用以说明初始状态的条件称为“初始条件初始条件”;用以说明边界上约束情况的条件称为用以说明边界上约束情况的条件称为“边界条件边界条件”。偏微分方程偏微分方程特定条件特定条件描述物理现象:描述物理现象:现在学习的是第25页,共78页1.1.初值问题(初值问题(CauchyCauchy问题)问题)只有只有泛定方程和初始条件的定解问题。泛定方程和初始条件的定解问题。2.2.边值问题边值问题 泛定方程加上边界条件的定解问题。泛定方程加上边界条件的定解问题。注:位势方程只有边值问题(位势方程与时间无关,所注:位势方程只有边值问题
12、(位势方程与时间无关,所以不提初始条件)。以不提初始条件)。3.3.混合问题混合问题 既有初始条件又有边界条件的定解问题既有初始条件又有边界条件的定解问题。定解问题定解问题定解问题定解问题 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起,就构成了一个定解问题。现在学习的是第26页,共78页初始条件弦振动问题弦振动问题:初始条件是指弦在开始振动时刻的位移:初始条件是指弦在开始振动时刻的位移和速度。如果以和速度。如果以 f(x)和和 g(x)分别表示弦的初位移和分别表示弦的初位移和初速度,则初始条件可以表达为初速度,则初始条件可以表达为初始条件用以给出具体物理现象的初始状态。初始条件用
13、以给出具体物理现象的初始状态。现在学习的是第27页,共78页热传导问题热传导问题:初始条件是指开始传热的时刻物体温度的:初始条件是指开始传热的时刻物体温度的分布情况。若以分布情况。若以 f(M)表示表示 t=0 时物体内一点时物体内一点M的温的温度,则热传导问题的初始条件可以表示为度,则热传导问题的初始条件可以表示为泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程:描述稳恒状态,与时间无:描述稳恒状态,与时间无关,所以不提初始条件。关,所以不提初始条件。现在学习的是第28页,共78页边界条件边界条件是给出具体物理现象在边界上所处的物边界条件是给出具体物理现象在边界上所处的物理情况。根据边界条件数学
14、表达方式的不同,一理情况。根据边界条件数学表达方式的不同,一般把边界条件分为三类。设般把边界条件分为三类。设 u 是未知函数,是未知函数,S 为边为边界,则分类如下:界,则分类如下:第一类边界条件第一类边界条件:直接给出:直接给出 u 在边界在边界 S 上的值上的值第二类边界条件第二类边界条件:给出:给出 u 沿沿 S 的外法线方向的的外法线方向的方向导数方向导数 现在学习的是第29页,共78页第三类边界条件第三类边界条件:给出:给出 u 以及以及 的线性组合的线性组合在边界的值,即在边界的值,即1.1.3 定解问题的适定性 一个定解问题的解如果满足解的存在性、唯一性和稳定性,一个定解问题的解
15、如果满足解的存在性、唯一性和稳定性,则称这个定解问题是适定的。则称这个定解问题是适定的。定解问题的定解问题的适定性适定性(Well-posedness)(Well-posedness)包含以下几个方面:包含以下几个方面:现在学习的是第30页,共78页1 1)解的)解的存在性存在性,即所提的定解问题是否有解;,即所提的定解问题是否有解;3 3)解的)解的稳定性稳定性,即看定解问题的解是否连续依赖定解,即看定解问题的解是否连续依赖定解条件。也就是说,当定解条件有微小变动时,引起解条件。也就是说,当定解条件有微小变动时,引起解的变动是否足够小。若是,则称解是稳定的,否则称的变动是否足够小。若是,则称
16、解是稳定的,否则称解是不稳定的。解是不稳定的。2 2)解的)解的唯一性唯一性,即所提的定解问题是否有唯一的解;,即所提的定解问题是否有唯一的解;现在学习的是第31页,共78页 1.1.4线性方程的叠加原理线性方程的叠加原理两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式一般二阶线性偏微分方程(一般二阶线性偏微分方程(n个自变量)个自变量)现在学习的是第32页,共78页称形如称形如的符号为的符号为微分算子微分算子。现在学习的是第33页,共78页二阶偏微分方程二阶偏微分方程可简写为可简写为定解条件定解条件可简写为可简写为现在学习的是第34页,共78页现在学习的是第35页
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