第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计精选文档.ppt
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1、第第6章章 无限脉冲响应无限脉冲响应数字滤波器的设计数字滤波器的设计本讲稿第一页,共一百五十一页6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 1.数字滤波器的分类 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类,可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为:(6.1.1)(6.1.2)本讲稿第二页,共一百五十一页图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 本讲稿第三页,共一百五十一页 2数字滤波器的技术要求 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示:图6.1.2 低通滤波器的技术要求本
2、讲稿第四页,共一百五十一页 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示,通带内允许的最大衰减用p表示,阻带内允许的最小衰减用s表示,p和s分别定义为:(6.1.3)(6.1.4)如将|H(ej0)|归一化为1,(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成:(6.1.5)(6.1.6)本讲稿第五页,共一百五十一页 3.数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类,经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是:先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s),然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。本讲稿第六页,
3、共一百五十一页6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟,且有若干典型的模拟滤波器供我们选择,如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等,这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。本讲稿第七页,共一百五十一页 图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性 本讲稿第八页,共一百五十一页 1.模拟低通滤波器的设计指标 及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有p,p,s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率,p是通带(=0p)中的最大衰减系
4、数,s是阻带s的最小衰减系数,p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性,可表示成:(6.2.1)(6.2.2)本讲稿第九页,共一百五十一页 如果=0处幅度已归一化到1,即|Ha(j0)|=1,p和s表示为 以上技术指标用图6.2.2表示。图中c称为3dB截止频率,因(6.2.3)(6.2.4)本讲稿第十页,共一百五十一页图6.2.2 低通滤波器的幅度特性本讲稿第十一页,共一百五十一页 滤波器的技术指标给定后,需要设计一个传输函数Ha(s),希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s,一般滤波器的单位冲激响应为实数,因此(6.2.5)本讲稿第十二页,共一百五十一页 2.巴特沃斯低通滤波器的设计
5、方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示:(6.2.6)图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系本讲稿第十三页,共一百五十一页 将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数:(6.2.7)此式表明幅度平方函数有2N个极点,极点sk用下式表示:(6.2.8)本讲稿第十四页,共一百五十一页图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布本讲稿第十五页,共一百五十一页 为形成稳定的滤波器,2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s),而右半平面的N个极点构成Ha(s)。Ha(s)的表示式为设N=3,极点有6个,它们分别为本讲稿第十六页,共一百五十一页取s平面左半平面的极点s0
6、,s1,s2组成Ha(s):本讲稿第十七页,共一百五十一页 由于各滤波器的幅频特性不同,为使设计统一,将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化,归一化后的Ha(s)表示为 式中,s/c=j/c。令=/c,称为归一化频率;令p=j,p称为归一化复变量,这样归一化巴特沃斯的传输函数为(6.2.10)(6.2.11)本讲稿第十八页,共一百五十一页 式中,pk为归一化极点,用下式表示:将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式,得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式,用下式表示:(6.2.12)将=s代入(6.2.6)式中,再将|Ha(js)|2代入(6.2.4)式中,得到:(6.
7、2.14)(6.2.15)本讲稿第十九页,共一百五十一页 由(6.2.14)和(6.2.15)式得到:令,则N由下式表示:(6.2.16)本讲稿第二十页,共一百五十一页 用上式求出的N可能有小数部分,应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c,如果技术指标中没有给出,可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出,由(6.2.14)式得到:由(6.2.15)式得到:(6.2.17)(6.2.18)本讲稿第二十一页,共一百五十一页 总结以上,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下:(1)根据技术指标p,p,s和s,用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(6.2.12)式,求出归一化
8、极点pk,将pk代入(6.2.11)式,得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p),得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。本讲稿第二十二页,共一百五十一页表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 本讲稿第二十三页,共一百五十一页本讲稿第二十四页,共一百五十一页本讲稿第二十五页,共一百五十一页 例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz,通带最大衰减p=2dB,阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz,阻 带 最 小 衰 减s=30dB,按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解(1)确定阶数N。本讲稿第二十六页,共一百五十一页 (2)按照(6.2.1
9、2)式,其极点为按照(6.2.11)式,归一化传输函数为本讲稿第二十七页,共一百五十一页 上式分母可以展开成为五阶多项式,或者将共轭极点放在一起,形成因式分解形式。这里不如直接查表6.2.1简单,由N=5,直接查表得到:极点:-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878;-1.0000 式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361本讲稿第二十八页,共一百五十一页 (3)为将Ha(p)去归一化,先求3dB截止频率c。按照(6.2.17)式,得到:将c代入(6.2.18)式,得到:将p=s/c代入Ha(p)中得到:本讲稿第二十
10、九页,共一百五十一页 我们这里仅介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。图6.2.5分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2()表示:(6.2.19)本讲稿第三十页,共一百五十一页图6.2.5 切比雪夫型滤波器幅频特性 本讲稿第三十一页,共一百五十一页 式中,为小于1的正数,表示通带内幅度波动的程度,愈大,波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。令=/p,称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式,定义为本讲稿第三十二页,共一百五十一页当N=0时,C0(x)=1;当N=1时,C1(x)=x;当N=2时,C2(x)=2x 21;当N=3时,C3(x)=4x 3
11、3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1(x)=2xCN(x)C N-1(x)(6.2.20)本讲稿第三十三页,共一百五十一页 图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。由图可见:(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内;(2)当|x|1时,|CN(x)|1,在|x|1时,CN(x)是双曲线函数,随x单调上升。本讲稿第三十四页,共一百五十一页图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线本讲稿第三十五页,共一百五十一页 按照(6.2.19)式,平方幅度函数与三个参数即,p和N有关。其中与通带内允许的波动大小有关,定义允许的通带波纹用下式表示:(6.2
12、.21)因此 (6.2.22)本讲稿第三十六页,共一百五十一页 图6.2.7 切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线本讲稿第三十七页,共一百五十一页 设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示,在s处的A2(s)用(6.2.19)式确定:(6.2.23)令s=s/p,由s1,有(6.2.24)(6.2.25)可以解出 本讲稿第三十八页,共一百五十一页 3dB截止频率用c表示,按照(6.2.19)式,有通常取c1,因此上式中仅取正号,得到3dB截止频率计算公式:(6.2.26)本讲稿第三十九页,共一百五十一页 以上p,和N确定后,可以求出滤波器的极点,并确定Ha(p),p=s/p。求解的过程请参
13、考有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。设Ha(s)的极点为si=i+ji,可以证明:(6.2.23)令s=s/p,由s1,有(6.2.24)(6.2.25)本讲稿第四十页,共一百五十一页 上式中仅取正号,得到3dB截止频率计算公式:(6.2.26)设Ha(s)的极点为si=i+ji,可以证明:(6.2.27)式中(6.2.28)本讲稿第四十一页,共一百五十一页 (6.2.28)式是一个椭圆方程,长半轴为pch(在虚轴上),短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴,可推导出:(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)本讲稿第四十二页,共一百五十一页图6.2.8 三阶切
14、比雪夫滤波器的极点分布本讲稿第四十三页,共一百五十一页 设N=3,平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定,用左半平面的极点构成Ha(p),即(6.2.32)式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出:c=2 N-1,代入(6.2.32)式,得到归一化的传输函数为(6.2.33a)本讲稿第四十四页,共一百五十一页 按照以上分析,下面介绍切比雪夫型滤波器设计步骤。1)确定技术要求p,p,s和s p是=p时的衰减系数,s是=s时的衰减系数,它们为 去归一化后的传输函数为(6.2.33b)(6.2.34)(6.2.35)本讲稿第四十五页,共一百五十一页 这里p
15、就是前面定义的通带波纹,见(6.2.21)式。归一化频率 2)求滤波器阶数N和参数 由(6.2.19)式,得到:本讲稿第四十六页,共一百五十一页 将以上两式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式,得到:令(6.2.36)(6.2.37)本讲稿第四十七页,共一百五十一页 这样,先由(6.2.36)式求出k-11,代入(6.2.37)式,求出阶数N,最后取大于等于N的最小整数。按照(6.2.22)式求,这里p=。+2=10 0.11 3)求归一化传输函数Ha(p)为求Ha(p),先按照(6.2.27)式求出归一化极点pk,k=1,2,:,N。本讲稿第四十八页,共一百五十一页 将极点pk代入(6
16、.2.33)式,得到:4)将Ha(p)去归一化,得到实际的Ha(s),即(6.2.38)(6.2.39)本讲稿第四十九页,共一百五十一页 例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器,要求通带截止频率fp=3kHz,通带最大衰减p=0.1dB,阻带截止频率fs=12kHz,阻带最小衰减s=60dB。解 (1)滤波器的技术要求:本讲稿第五十页,共一百五十一页 (2)求阶数N和:本讲稿第五十一页,共一百五十一页 (3)求Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi,代入上式,得到:(4)将Ha(p)去归一化,得到:本讲稿第五十二页,共一百五十一页 4.模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤波器
17、的设计 为了防止符号混淆,先规定一些符号如下:1)低通到高通的频率变换 和之间的关系为 上式即是低通到高通的频率变换公式,如果已知低通G(j),高通H(j)则用下式转换:(6.2.41)(6.2.40)本讲稿第五十三页,共一百五十一页图6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性本讲稿第五十四页,共一百五十一页 模拟高通滤波器的设计步骤如下:(1)确定高通滤波器的技术指标:通带下限频率p,阻带上限频率s,通带最大衰减p,阻带最小衰减s。(2)确 定 相 应 低 通 滤 波 器 的 设 计 指 标:按 照(6.2.40)式,将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率,各项设计指标为:低通滤波器通
18、带截止频率p=1/p;低通滤波器阻带截止频率s=1/s;通带最大衰减仍为p,阻带最小衰减仍为s。本讲稿第五十五页,共一百五十一页 (3)设计归一化低通滤波器G(p)。(4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照(6.2.40)式,转换成归一化高通H(q),为去归一化,将q=s/c代入H(q)中,得 例6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz,幅度特性单调下降,fp处最大衰减为3dB,阻带最小衰减s=15dB。(6.2.42)本讲稿第五十六页,共一百五十一页 解 高通技术要求:fp=200Hz,p=3dB;fs=100Hz,s=15dB 归一化频率低通技术要求:本讲稿第五十七
19、页,共一百五十一页 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器,故本讲稿第五十八页,共一百五十一页 求模拟高通H(s):2)低通到带通的频率变换 低通与带通滤波器的幅度特性如图6.2.10所示。本讲稿第五十九页,共一百五十一页图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性 表6.2.2 与的对应关系 本讲稿第六十页,共一百五十一页 由与的对应关系,得到:由表6.2.2知p对应u,代入上式中,有 (6.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于 本讲稿第六十一页,共一百五十一页 将(6.2.43)式代入上式,得到
20、:将q=j代入上式,得到:为去归一化,将q=s/B代入上式,得到:(6.2.44)(6.2.45)本讲稿第六十二页,共一百五十一页上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标,即:带通上限频率u,带通下限频率l下阻带上限频率 s1,上阻带下限频率 s2 通带中心频率20=lu,通带宽度B=ul与以上边界频率对应的归一化边界频率如下:本讲稿第六十三页,共一百五十一页 (2)确定归一化低通技术要求:s与-s的绝对值可能不相等,一般取绝对值小的s,这样保证在较大的s处更能满足要求。通带最大衰减仍为p,阻带最小衰减亦为s。(3)设计归一化
21、低通G(p)。(4)由(6.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)。本讲稿第六十四页,共一百五十一页 例6.2.4 设计模拟带通滤波器,通带带宽B=2200rad/s,中心频率0=21000rad/s,通带内最大衰减p=3dB,阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s,阻带最小衰减s=15dB。解(1)模拟带通的技术要求:0=21000rad/s,p=3dB s1=2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s;0=5,s1=4.15,s2=6本讲稿第六十五页,共一百五十一页 (2)模拟归一化低通技术要求:取s=1.833,p=3dB
22、,s=15dB。(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p):采用巴特沃斯型,有本讲稿第六十六页,共一百五十一页 取N=3,查表6.2.1,得(4)求模拟带通H(s):本讲稿第六十七页,共一百五十一页 3)低通到带阻的频率变换 低通与带阻滤波器的幅频特性如图6.2.11所示。图6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性本讲稿第六十八页,共一百五十一页 图中,l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率,s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率,0为阻带中心频率,20=ul,阻带带宽B=ul,B作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B;20=ul
23、表6.2.3 与的对应关系 本讲稿第六十九页,共一百五十一页 根据与的对应关系,可得到:且ul=1,p=1,(6.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(6.2.46)式代入p=j,并去归一化,可得 上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。(6.2.46)(6.2.47)(6.2.48)本讲稿第七十页,共一百五十一页下面总结设计带阻滤波器的步骤:(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求,即:下通带截止频率l,上通带截止频率u阻带下限频率s1,阻带上限频率s2阻带中心频率+20=ul,阻带宽度B=ul它们相应的归一化边界频率为 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B;s2=s2/B,2
24、0=ul以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。本讲稿第七十一页,共一百五十一页 (2)确定归一化模拟低通技术要求,即:取s和s的绝对值较小的s;通带最大衰减为p,阻带最小衰减为s。(3)设计归一化模拟低通G(p)。(4)按照(6.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。本讲稿第七十二页,共一百五十一页 例6.2.5 设计模拟带阻滤波器,其技术要求为:l=2905rad/s,s1=2980rad/s,s2=21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB,s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解 (1)模拟带阻滤波器的技术要求:l=2905,u=21105;s1=2980,
25、s2=21020;20=lu=4+21000025,B=ul=2200;本讲稿第七十三页,共一百五十一页 l=l/B=4.525,u=u/B=5.525;s1=s1/B=4.9,s2=5.1;20=lu=25 (2)归一化低通的技术要求:(3)设计归一化低通滤波器G(p):本讲稿第七十四页,共一百五十一页 (4)带阻滤波器的H(s)为本讲稿第七十五页,共一百五十一页6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求,对转换关系提出两点要求:(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器,仍是因果稳定的。(2)数字滤波器的频
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