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1、关于虚位移原理(2)现在学习的是第1页,共57页引引 言言 静力学中以力的平行四边形法则和二力平衡公理为基静力学中以力的平行四边形法则和二力平衡公理为基础研究了刚体和刚体系统的平衡,该部分内容称为础研究了刚体和刚体系统的平衡,该部分内容称为几何静几何静力学力学。由几何静力学建立的平衡条件,对刚体的平衡是必由几何静力学建立的平衡条件,对刚体的平衡是必要与充分的,但对任意质点系来说,仅仅是必要的而不一要与充分的,但对任意质点系来说,仅仅是必要的而不一定是充分的。下面所介绍的虚位移原理,是用分析的方法定是充分的。下面所介绍的虚位移原理,是用分析的方法来研究任意质点系的平衡问题。这部分来研究任意质点系
2、的平衡问题。这部分内容称为内容称为分析静力分析静力学学。虚位移原理给出的平衡条件,对于任意质点系的平衡都是。虚位移原理给出的平衡条件,对于任意质点系的平衡都是必要与充分的,因此它是解决质点系平衡问题的普遍原理。同必要与充分的,因此它是解决质点系平衡问题的普遍原理。同时,将虚位移原理和达朗伯原理相结合,可以导出动力学普遍时,将虚位移原理和达朗伯原理相结合,可以导出动力学普遍方程和拉格朗日方程,从而得到求解质点系动力学问题的又一方程和拉格朗日方程,从而得到求解质点系动力学问题的又一个普遍的方法。个普遍的方法。现在学习的是第2页,共57页15.1系 统 的 约 束 及 其 分 类 限制质点系中各质点
3、的位置和运动的条件称为约束限制质点系中各质点的位置和运动的条件称为约束。表示这些限制条件的表达式称为表示这些限制条件的表达式称为约束方程约束方程。根据约束形。根据约束形式及其性质,约束可分以下类型:式及其性质,约束可分以下类型:一、几何约束与运动约束一、几何约束与运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束束。如:。如:几何约束方程的一般形式为几何约束方程的一般形式为现在学习的是第3页,共57页系 统 的 约 束 及 其 分 类 不仅能限制质点系的位置,而且能限制质点系中各质点不仅能限制质点系的位置,而且能限制质点系中各质点的速度
4、的约束称为运动约束的速度的约束称为运动约束。为几何约束方程。为几何约束方程。为运动约束方程。为运动约束方程。运动约束方程的一般形式为运动约束方程的一般形式为 二、定常约束与非定常约束二、定常约束与非定常约束 约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。如如其约束方程为其约束方程为15.1现在学习的是第4页,共57页系 统 的 约 束 及 其 分 类 非定常约束方程的一般形式为非定常约束方程的一般形式为 三、双面约束与单面约束三、双面约束与单面约束 同时限制质点某方向及相反方向运动
5、的约束称为双面约同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称为双面约束。束。只能限制质点某方向的运动,而不能限制相反方向运只能限制质点某方向的运动,而不能限制相反方向运动的约束称为单面约束。动的约束称为单面约束。其其约束方程的一般形式为约束方程的一般形式为 四、完整约束与非完整约束四、完整约束与非完整约束 几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整约束。约束。如果在约束方程中显含坐标对时间的导数,并且不如果在约束方程中显含坐标对时间的导数,并且不可以积分,这种约束称为非完整约束。可以积分,这种约束称为非完整约束。本章只研究定常的双面的完整的几何约束
6、问题。本章只研究定常的双面的完整的几何约束问题。15.1现在学习的是第5页,共57页自 由 度 与 广 义 坐 标 对于一个自由质点,要确定它在空间的位置,需要对于一个自由质点,要确定它在空间的位置,需要三个独立的直角坐标。对于由三个独立的直角坐标。对于由n个质点组成的自由质点系,个质点组成的自由质点系,则需要则需要3 n个独立的直角坐标来确定每个质点在空间的个独立的直角坐标来确定每个质点在空间的位置。但对于非自由质点系来说,由于约束的存在,位置。但对于非自由质点系来说,由于约束的存在,3 n个坐标就不都是相互独立的,它们必须满足约束方程。例个坐标就不都是相互独立的,它们必须满足约束方程。例如
7、:如:确定具有完整约束的质点系位置确定具有完整约束的质点系位置所需要独立坐标的个数称为该质点系所需要独立坐标的个数称为该质点系的自由度数的自由度数,简称,简称自由度自由度。图示机。图示机构具有一个自由度。构具有一个自由度。在一般情况下,若质点系由在一般情况下,若质点系由n个质点组成,受个质点组成,受到到s个几何约束,且个几何约束,且 ,则在,则在3 n个坐标中只有个坐标中只有 个坐标是独立的,因此个坐标是独立的,因此 即为该质点系即为该质点系的自由度。而对于平面问题的自由度。而对于平面问题 。一、自由度一、自由度15.2现在学习的是第6页,共57页自 由 度 与 广 义 坐 标 用来确定质点系
8、位置的独立参变量称为该质点系的广用来确定质点系位置的独立参变量称为该质点系的广义坐标。在完整约束的情况下,质点系广义坐标的数目等义坐标。在完整约束的情况下,质点系广义坐标的数目等于该质点系的自由度。于该质点系的自由度。例如,图示双摆,有两个自由例如,图示双摆,有两个自由度,可取度,可取 ,为广义坐标来确定为广义坐标来确定系统的位置。系统的位置。二、广义坐标二、广义坐标15.2现在学习的是第7页,共57页自 由 度 与 广 义 坐 标 在一般情况下,若由在一般情况下,若由 个质点组成的质点系,具个质点组成的质点系,具有有 个自由度,取个自由度,取 为广义坐标。对于定为广义坐标。对于定常的完整约束
9、,质点系中各个质点的矢径及其直角坐常的完整约束,质点系中各个质点的矢径及其直角坐标可以写成如下的广义坐标的函数形式标可以写成如下的广义坐标的函数形式 必须指出,广义坐标的选取不是唯一的,要根据必须指出,广义坐标的选取不是唯一的,要根据解题的方便任意选取,广义坐标的单位可以是长度,解题的方便任意选取,广义坐标的单位可以是长度,也可以是角度。但广义坐标必须具备两个条件:一是也可以是角度。但广义坐标必须具备两个条件:一是所选取的一组广义坐标能够所选取的一组广义坐标能够完全确定质点系的位置完全确定质点系的位置,二,二是各广义坐标之间必须是各广义坐标之间必须相互独立相互独立。15.2现在学习的是第8页,
10、共57页15.3虚 位 移 及 其 计 算 一、虚位移的概念一、虚位移的概念 在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何微小在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何微小的位移,称为该质点系的虚位移。的位移,称为该质点系的虚位移。二、虚位移和实位移的异同二、虚位移和实位移的异同1、虚位移和实位移都受约束的限制,是约束所允许的位移。、虚位移和实位移都受约束的限制,是约束所允许的位移。2、实位移是在一定的力作用下和给定的运动初始条件下,在一定的时、实位移是在一定的力作用下和给定的运动初始条件下,在一定的时间内发生的位移,具有确定的方向,即实位移是唯一的。间内发生的位移,具有确定的方
11、向,即实位移是唯一的。虚位移不牵涉到系统的实际运动,也不涉及到力的作用,与虚位移不牵涉到系统的实际运动,也不涉及到力的作用,与时间和运动的初始条件无关,即虚位移不是唯一的。时间和运动的初始条件无关,即虚位移不是唯一的。虚位移用虚位移用 表示。表示。现在学习的是第9页,共57页15.3虚 位 移 及 其 计 算3、实位移可能是微小值,也可能是有限值。、实位移可能是微小值,也可能是有限值。虚位移一定是微小值。虚位移一定是微小值。4、在定常约束的情况下,微小实位移必定是虚位移中的一个。在在定常约束的情况下,微小实位移必定是虚位移中的一个。在非定常约束的情况下,实位移与虚位移没有关系。非定常约束的情况
12、下,实位移与虚位移没有关系。5、实位移、虚位移与矢径的关系实位移、虚位移与矢径的关系微小实位移与矢径是微分关系微小实位移与矢径是微分关系虚位移与矢径是变分关系虚位移与矢径是变分关系现在学习的是第10页,共57页15.3虚 位 移 及 其 计 算 三、虚位移的计算三、虚位移的计算 1、几何法、几何法 (1)比例法比例法(2)投影法投影法 这里仅讨论定常约束的情形。在此条件下,这里仅讨论定常约束的情形。在此条件下,真实位移是虚位移中的一个。因此可以用求实位真实位移是虚位移中的一个。因此可以用求实位移的方法来求各质点虚位移之间的关系。这种方移的方法来求各质点虚位移之间的关系。这种方法又称法又称虚速度
13、法虚速度法。现在学习的是第11页,共57页15.3虚 位 移 及 其 计 算 二、虚位移的计算二、虚位移的计算 1、几何法、几何法 (1)比例法比例法(2)投影法投影法(3)瞬时法瞬时法现在学习的是第12页,共57页15.3虚 位 移 及 其 计 算解法二:瞬时法瞬时法 椭圆规机构如图,求椭圆规机构如图,求A、B两点的虚位移关系。两点的虚位移关系。解法一:投影法投影法例例1现在学习的是第13页,共57页15.3虚 位 移 及 其 计 算 2、解析法、解析法 解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。出虚位移之间的关系。式中,
14、式中,称为称为广义虚位移广义虚位移。上式表明,质点系的虚位上式表明,质点系的虚位移都可以用质点系的广义虚位移表示。移都可以用质点系的广义虚位移表示。现在学习的是第14页,共57页15.3虚 位 移 及 其 计 算解法一:椭圆规机构如图,坐标有约束方程对上式进行变分运算得 椭圆规机构如图,求椭圆规机构如图,求A、B两点的虚位移关系。两点的虚位移关系。例例1现在学习的是第15页,共57页15.3虚 位 移 及 其 计 算 选取 为广义坐标,则 表示为。作变分运算所以 比较以上方法,可以发现,几何法直观,且较为简便,比较以上方法,可以发现,几何法直观,且较为简便,而解析法比较规范。而解析法比较规范。
15、解法二:用坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。现在学习的是第16页,共57页15.2自 由 度 与 广 义 坐 标 例例2 如图所示双摆,试确定系统的如图所示双摆,试确定系统的 虚位移。虚位移。解:该系统有两个自由度,可解:该系统有两个自由度,可取取 ,为广义坐标并用来为广义坐标并用来确定系统的位置。确定系统的位置。现在学习的是第17页,共57页15.4虚 功 和 理 想 约 束 如图所示,设某质点受力如图所示,设某质点受力 作用,作用,并给该质点一个虚位移并给该质点一个虚位移 ,则力,则力 在虚在虚位移位移 上所作的功称为上所作的功称为虚功虚功,即,即或或 显然,虚功也是假想的,它与虚
16、位移是同阶无穷小量。显然,虚功也是假想的,它与虚位移是同阶无穷小量。1、如果在质点系的任何虚位移中,所有的约束反力如果在质点系的任何虚位移中,所有的约束反力所作虚功的和等于零,则这种约束称为理想约束所作虚功的和等于零,则这种约束称为理想约束。其条。其条件为件为 2、常见的理想约束有:常见的理想约束有:支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光滑铰支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光滑铰链、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点不可伸缩链、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。的绳索、无滑动的滚动。一、虚功一、虚功二、理想约束二、理想约束现在学习的是第18页,共57页
17、15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 具有双面、定常、理想约束的质点系,在某一具有双面、定常、理想约束的质点系,在某一位置处于平衡的、必要与充分条件是:所有作用于位置处于平衡的、必要与充分条件是:所有作用于质点系上的主动力,在该位置的任何虚位移中所作质点系上的主动力,在该位置的任何虚位移中所作的虚功之和等于零。的虚功之和等于零。其数学表达式为其数学表达式为或或或用解析式表示为或用解析式表示为以上三式称为以上三式称为虚功方程虚功方程。虚位移原理也称。虚位移原理也称虚功原虚功原理理。一、虚位移原理一、虚位移原理现在学习的是第19页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 1、求主
18、动力之间的关系、求主动力之间的关系二、虚位移原理的应用二、虚位移原理的应用2、求系统的平衡位置、求系统的平衡位置 3、求结构约束反力、求结构约束反力 4、求静定桁架杆件的内力、求静定桁架杆件的内力现在学习的是第20页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 1、求主动力之间的关系、求主动力之间的关系 例例3 图示机构中,已知图示机构中,已知OA=AB=l,如不计各构件的重量和摩擦,如不计各构件的重量和摩擦,求在图示位置平衡时主动力求在图示位置平衡时主动力 与与 的大小的大小之间的关系。之间的关系。解1:以系统为研究对象,受的主动力以系统为研究对象,受的主动力有有 、。由虚位移原理由
19、虚位移原理,得得 AB作平面运动,瞬心在作平面运动,瞬心在 点,则点,则将以上关系代入前式得将以上关系代入前式得由于由于 ,于是得,于是得 给系统一组虚位移如图,寻找虚位移的关系。给系统一组虚位移如图,寻找虚位移的关系。现在学习的是第21页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 解2:解析法。建立如图坐标。由于且对上两式作变分,得由,得即由于 ,于是得现在学习的是第22页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 例例4 图示机构中,当曲柄图示机构中,当曲柄OC绕轴绕轴摆动时,滑块摆动时,滑块A沿曲柄自由滑动,从而沿曲柄自由滑动,从而带动杆带动杆AB在铅垂导槽在铅垂导槽
20、K内移动。已知内移动。已知OC=a,OK=l,在,在C点垂直于曲柄作点垂直于曲柄作用一力用一力 ,而在,而在B点沿点沿BA作用一力作用一力 。求机构平衡时,力。求机构平衡时,力 与与 的关系。的关系。解解1:(几何法)以系统为研究对象,受的主动:(几何法)以系统为研究对象,受的主动力有力有 、。其中由虚位移原理由虚位移原理,得式中故有由于 ,于是得 给系统一组虚位移如图,寻找虚位移的关系。给系统一组虚位移如图,寻找虚位移的关系。现在学习的是第23页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 解2:解析法。建立如图坐标。主动力作用点的坐标及其变分为主动力在坐标方向上的投影为由,得即亦即
21、由于 ,于是得现在学习的是第24页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 解3:综合法。本题用解析法计算 力的虚功,用几何法计算 力的虚功,此时虚功方程可以写为将代入上式,得即可得同样的结果。现在学习的是第25页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 2、求系统的平衡位置、求系统的平衡位置 例例5 图示平面机构,两杆长度相等。图示平面机构,两杆长度相等。在在B点挂有重点挂有重W的重物。的重物。D、E两点用弹两点用弹簧连接。已知弹簧原长为簧连接。已知弹簧原长为l,弹性系数,弹性系数为为k,其它尺寸如图。不计各杆自重。求,其它尺寸如图。不计各杆自重。求机构的平衡位置。机
22、构的平衡位置。解:以系统为研究对象,建立如图解:以系统为研究对象,建立如图的坐标。的坐标。系统受力有主动力系统受力有主动力 ,以及非,以及非理想约束的弹性力理想约束的弹性力 和和 ,将其视,将其视为主动力。其弹性力的大小为为主动力。其弹性力的大小为主动力作用点的坐标及其变分为主动力作用点的坐标及其变分为现在学习的是第26页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用主动力在坐标方向上的投影为主动力在坐标方向上的投影为由,得即亦即因 ,故将F代入,化简得现在学习的是第27页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 3、求约束反力、求约束反力 例例6 试求图示多跨静定梁铰试求图
23、示多跨静定梁铰B处的约束反力。处的约束反力。解:以梁为研究对象,解:以梁为研究对象,解除解除B处约束,代之以相处约束,代之以相应的约束反力应的约束反力 ,并视为,并视为主动力。给系统一组虚位主动力。给系统一组虚位移,如图所示。移,如图所示。由虚位移原理有由虚位移原理有由图知现在学习的是第28页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用于是得从而有现在学习的是第29页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 例例7 图示多跨静定梁,图示多跨静定梁,试求试求A端处约束反力偶矩及端处约束反力偶矩及铅垂反力。已知:铅垂反力。已知:长度单位为长度单位为m。解:(解:(1)求)求A端
24、约束反端约束反力偶矩。力偶矩。以梁为研究对象,解除A处限制转动的约束,代之以相应的约束反力偶矩 ,并视为主动力。给系统一组虚位移,如图所示。由虚位移原理有由几何关系得现在学习的是第30页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用于是得故有 (2)求A处铅垂反力。解除A处铅垂的约束,代之以相应的约束反力 ,并视为主动力。给系统一 组虚位移,如图所示。由虚位移原理有于是有故有由几何关系得现在学习的是第31页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 例例8 如图所示结构中,杆件如图所示结构中,杆件AB与与CD用光滑铰链用光滑铰链C连接,已知作连接,已知作用于用于B点的力为点的力
25、为P,作用于杆,作用于杆CD上上的力偶矩为的力偶矩为M,尺寸如图,杆重,尺寸如图,杆重不计。求支座不计。求支座D处的约束反力。处的约束反力。解:(1)以系统为研究对象,解除D处的水平约束,代之以相应的约束反力 ,并视为主动力。给系统一组虚位移,如图所示。由虚位移原理有由运动学关系现在学习的是第32页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用(2)再以系统为研究对象,解除D处的垂直约束,代之以相应的约束反力 ,并视为主动力。给系统一组虚位移,如图所示。于是得 由虚位移原理有由运动学关系于是得现在学习的是第33页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 4、求桁架杆件的轴力、
26、求桁架杆件的轴力 例例9 求图示桁架杆求图示桁架杆1和杆和杆2的轴的轴力。力。解:以桁架为研究对象,解除1杆的约束,代之以相应的约束反力,并视为主动力。给系统一组虚位移,如图所示。由虚位移原理有由几何关系得于是得现在学习的是第34页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 解除2杆的约束,代之以相应的约束反力,并视为主动力。给系统一组虚位移,如图所示。由虚位移原理有由几何关系得于是得现在学习的是第35页,共57页14.6以广义力表示质点系的平衡条件将将代入代入得得在上式中,令在上式中,令则则 称为对应于广义坐称为对应于广义坐标标 的的广义力广义力。显然,。显然,广义力的数目与广义坐
27、标的数广义力的数目与广义坐标的数目相等,等于系统的自由度目相等,等于系统的自由度。一、广义力一、广义力则现在学习的是第36页,共57页14.6以广义力表示质点系的平衡条件 因为因为 且且 均为广义坐均为广义坐标的函数,所以标的函数,所以将将 和上式代入和上式代入得广义力的解析表达式得广义力的解析表达式 二、二、广义力的计算方法:广义力的计算方法:1、解析法、解析法 用式用式 计计算,此时需将各质点的直角坐标表示为广义坐标的算,此时需将各质点的直角坐标表示为广义坐标的函数。函数。现在学习的是第37页,共57页14.6以广义力表示质点系的平衡条件 若作用在质点系上的主动力均为有势力,质点系若作用在
28、质点系上的主动力均为有势力,质点系在任一位置的势能为在任一位置的势能为 ,则有,则有代入上式得代入上式得2、保守系统的解析法、保守系统的解析法即:即:对应于某一广义坐标的广义力,等于势能对该广对应于某一广义坐标的广义力,等于势能对该广义坐标的偏导数冠以负号义坐标的偏导数冠以负号。当作用于质点系上的全部力为有势力时,当作用于质点系上的全部力为有势力时,可用式可用式 计算,计算,此时需将势能表示为广义坐标的函数。此时需将势能表示为广义坐标的函数。现在学习的是第38页,共57页14.6以广义力表示质点系的平衡条件 3、几何法、几何法 利用虚功进行计算,这种方法直观,利用虚功进行计算,这种方法直观,对
29、主动力有势和无势的情况都适用,计算比较方便,在对主动力有势和无势的情况都适用,计算比较方便,在解决问题时常采用这种方法。解决问题时常采用这种方法。由于广义坐标由于广义坐标 是相互独立的,因此可是相互独立的,因此可取一组特殊的虚位移,令取一组特殊的虚位移,令,这时就可以计算所有主动力在相应的虚位移中所,这时就可以计算所有主动力在相应的虚位移中所做虚功的和,用做虚功的和,用 表示,则有表示,则有由此可求出广义力由此可求出广义力用同样的方法可求出全部的广义力。用同样的方法可求出全部的广义力。现在学习的是第39页,共57页14.6以广义力表示质点系的平衡条件 上式中,由于广义坐标是相互独立的,广义虚位
30、移上式中,由于广义坐标是相互独立的,广义虚位移是任意的,要使上式成立,必须有是任意的,要使上式成立,必须有即:即:具有理想约束的质点系平衡的必要与充分条件是:对具有理想约束的质点系平衡的必要与充分条件是:对应于所有广义坐标的广义力都等于零应于所有广义坐标的广义力都等于零。三、用广义力表示的平衡条件三、用广义力表示的平衡条件 对于保守系统,由对于保守系统,由 得,表得,表示系统的平衡条件为示系统的平衡条件为即:即:在势力场中,具有理想约束的质点系的平衡条件是:势在势力场中,具有理想约束的质点系的平衡条件是:势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。现在学习的是
31、第40页,共57页14.6以广义力表示质点系的平衡条件 例例10 图示双摆,摆锤图示双摆,摆锤A、B分别分别重重 、,今在,今在B点沿水平方向作点沿水平方向作用一已知力用一已知力 ,且三力在同一平面,且三力在同一平面内,试求系统平衡时,两摆杆与铅内,试求系统平衡时,两摆杆与铅垂线的夹角垂线的夹角 和和 各为多大。各为多大。解1:几何法 以系统为研究对象,取 、为广义坐标。令 ,此时系统的虚位移图如图所示。由图得 ,则故现在学习的是第41页,共57页14.6以广义力表示质点系的平衡条件 同样,令 ,此时系统的虚位移图如图所示。由图得 ,则故 由系统的平衡条件 ,可解得现在学习的是第42页,共57
32、页14.6以广义力表示质点系的平衡条件 解2:解析法 以系统为研究对象,建立如图的直角坐标,取 、为广义坐标。主动力在坐标轴上的投影为 A、B两点的直角坐标为对坐标求偏导,得现在学习的是第43页,共57页14.6以广义力表示质点系的平衡条件 由 ,有将力的投影和对坐标的偏导代入上式,得 同样,由系统的平衡条件 ,可解得现在学习的是第44页,共57页14.6以广义力表示质点系的平衡条件 例例11 在图示机构中,已知:圆盘在图示机构中,已知:圆盘O的质量为的质量为M,半径,半径为为r,用刚性系数为,用刚性系数为k的弹簧吊住,重物的弹簧吊住,重物A和和B的质量分别为的质量分别为m1,m2,弹簧原长为
33、,弹簧原长为lo。绳与圆盘间无相对滑动,绳子不。绳与圆盘间无相对滑动,绳子不能伸长。试求系统的广义力。能伸长。试求系统的广义力。解:以系统为研究对象,系统具有两个自由度。取 和 为广义坐标。系统受的主动力有重物的重力及弹性力均为势力。取弹簧的原长为弹性力势能的零位置;取D点为重力零势能位置。系统势能为:D现在学习的是第45页,共57页14.6以广义力表示质点系的平衡条件 例例12 重物重物A和和B分别连接在细绳的两端,分别连接在细绳的两端,A放置在粗糙放置在粗糙的水平面上,的水平面上,B绕过定滑轮绕过定滑轮E铅垂悬挂,动滑轮铅垂悬挂,动滑轮H的轴心上的轴心上挂一重物挂一重物C,如图。设,如图。
34、设A重重2P,B重重P。试求平衡时,。试求平衡时,C的重的重量量W以及以及A与水平面的滑动摩擦系数与水平面的滑动摩擦系数f。解:以系统为研究对象,系统具有两个自由度。取 和 为广义坐标。系统受的主动力有重物的重力,还有非理想约束的摩擦力,解除水平面的约束,代之以法向反力和摩擦力。并将摩擦力视为主动力。其中 下面用几何法求广义力。现在学习的是第46页,共57页14.6以广义力表示质点系的平衡条件 令 ,则故 同样,令 ,则故 由系统的平衡条件 ,可解得解之得现在学习的是第47页,共57页14.6以广义力表示质点系的平衡条件四、平衡的稳定性条件四、平衡的稳定性条件 对于保守系统,由对于保守系统,由
35、 得,表得,表示系统的平衡条件为示系统的平衡条件为 现讨论保守系统中,势能极值的性质与系统的现讨论保守系统中,势能极值的性质与系统的平衡位置的稳定性的关系。平衡位置的稳定性的关系。现只讨论单自由度系统平衡稳定性的判据:现只讨论单自由度系统平衡稳定性的判据:在稳定平衡的平衡位置上,系统势能具有极小在稳定平衡的平衡位置上,系统势能具有极小值,即值,即 在不稳定平衡的平衡位置上,系统势能具有极大在不稳定平衡的平衡位置上,系统势能具有极大值,即值,即现在学习的是第48页,共57页14.6以广义力表示质点系的平衡条件例例13 弹簧连杆机构中,弹簧连杆机构中,AB为均质杆,质为均质杆,质量为量为m=10k
36、g,长,长l=0.6m,其它构件质量,其它构件质量不计,弹簧系数不计,弹簧系数k=200N/m,弹簧为自然,弹簧为自然长度时长度时 =0,试求系统的平衡位置,并分,试求系统的平衡位置,并分析平衡的稳定性。析平衡的稳定性。解:以系统为研究对象,系统具有一个自由度。取 为广义坐标。系统受的主动力有AB杆的重力及弹性力均为势力。取弹簧的原长为弹性力势能的零位置;取B点为重力零势能位置。系统势能为:现在学习的是第49页,共57页14.6以广义力表示质点系的平衡条件即系统有两个平衡位置。为判断两个平衡位置的稳定性,再对势能求二阶导数。不稳定平衡(极大值)稳定平衡(极小值)由系统的平衡条件 ,可解得现在学
37、习的是第50页,共57页 结 束现在学习的是第51页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 例7 图示多跨静定梁,图示多跨静定梁,试求试求A端处约束反力偶矩及端处约束反力偶矩及铅垂反力。已知:铅垂反力。已知:长度单位为长度单位为m。解:(解:(1)求)求A端约束反力端约束反力偶矩。偶矩。以梁为研究对象,解除A处限制转动的约束,代之以相应的约束反力偶矩 ,并视为主动力。给系统一组虚位移,如图所示。由虚位移原理有由几何关系得现在学习的是第52页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用于是得故有 (2)求A处铅垂反力。解除A处铅垂的约束,代之以相应的约束反力 ,并视为主动力。给系统一组虚位移,如图所示。由虚位移原理有由几何关系得于是有故有现在学习的是第53页,共57页15.5虚 位 移 原 理 及 其 应 用 例例8 求图示静定刚架支座求图示静定刚架支座D处处的水平反力。的水平反力。解:以刚架为研究对象,解除D处的水平约束,代之以相应的约束反力 ,并视为主动力。给系统一组虚位移,如图所示。由虚位移原理有由运动学关系于是有故于是支座D的水平反力为现在学习的是第54页,共57页现在学习的是第55页,共57页现在学习的是第56页,共57页感谢大家观看现在学习的是第57页,共57页
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