第十章多元函数微分学精选PPT.ppt
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1、第十章多元函数微分学第1页,此课件共70页哦w本章重点为二元函数的概念、二元函数的极限与连续、偏导数的概念与计算,本章重点为二元函数的概念、二元函数的极限与连续、偏导数的概念与计算,全微分的概念,多元复合函数的求导公式与计算,隐函数的求导公式,曲线的全微分的概念,多元复合函数的求导公式与计算,隐函数的求导公式,曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程,多元函数极值的必要条件和充切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程,多元函数极值的必要条件和充分条件,条件极值的概念与拉格朗日乘数法。分条件,条件极值的概念与拉格朗日乘数法。w多元函数的微分法一个是难点,要求读者一定要分清自变量与中间变量,
2、以及多元函数的微分法一个是难点,要求读者一定要分清自变量与中间变量,以及它们之间的关系它们之间的关系.搞清楚函数的各变量间的复合关系,由于多元函数的复合关系可以说搞清楚函数的各变量间的复合关系,由于多元函数的复合关系可以说是无穷无尽的,不可能列出所有的公式是无穷无尽的,不可能列出所有的公式.因此,要记住最基本的公式,这就是链式规则因此,要记住最基本的公式,这就是链式规则通过一切有关的中间变量到自变量通过一切有关的中间变量到自变量.自变量有几个,链式规则中就会含有几个公自变量有几个,链式规则中就会含有几个公式;中间变量有几个,链式规则中的每个公式里就有几项。同时,读者还应做较多式;中间变量有几个
3、,链式规则中的每个公式里就有几项。同时,读者还应做较多的练习,才能熟练、灵活地掌握链式规则,确保求导的正确性。的练习,才能熟练、灵活地掌握链式规则,确保求导的正确性。w求解最大、最小值问题是多元函数微分学的重要应用,求解这类问题的关键在求解最大、最小值问题是多元函数微分学的重要应用,求解这类问题的关键在于建立函数关系和约束条件,读者应通过一些习题锻炼自己建立函数关系的能于建立函数关系和约束条件,读者应通过一些习题锻炼自己建立函数关系的能力。力。w学法指导:多元函数的微分学与一元函数的有关内容是相对应的学法指导:多元函数的微分学与一元函数的有关内容是相对应的.在学习这一在学习这一章时,应与一元函
4、数进行对比,弄清它们之间的区别与联系,对理解和掌握本章的章时,应与一元函数进行对比,弄清它们之间的区别与联系,对理解和掌握本章的相应内容是会有帮助的。相应内容是会有帮助的。w为了学习方便,我们用为了学习方便,我们用MATLAB程序作出了一些二元函数的图形,帮助同学理程序作出了一些二元函数的图形,帮助同学理解比较困难的问题如极限和连续的概念等。解比较困难的问题如极限和连续的概念等。第2页,此课件共70页哦第一第一节节多元函数的概念多元函数的概念多元函数的定多元函数的定义义先看几个例子先看几个例子例例题题1 直直圆圆柱体的柱体的侧侧面面积积S和底面半径和底面半径R和高和高H之之间间的依的依赖赖关系
5、可关系可用公式用公式S=2 RH,(R,H)R 0,H 0表示。当(表示。当(R,H)的值在一定范围内取定一对数值时,)的值在一定范围内取定一对数值时,S的对应值就随之确的对应值就随之确定了。定了。例例题题2 气缸内理想气体的容气缸内理想气体的容积积V与与压压强强p,绝对绝对温度温度T之之间间的关系的关系为为V=RT/p,其中其中R是常数,是常数,(T,p)T T 0 0,p p 0 0,V是随是随T、p变变化而化而变变化的。当(化的。当(T,p)在一定范)在一定范围围内取定一内取定一对对数数值时值时,V的的对应值对应值就随之确定了。就随之确定了。例例题题3 一氧化氮的氧化一氧化氮的氧化过过程
6、程为为2NO+O2 22N2NO2 2,由,由实验实验可知,在此可知,在此过过程中,其氧化速度程中,其氧化速度V与一氧化氮的克分子与一氧化氮的克分子浓浓度度x、氧气的克分子、氧气的克分子浓浓度度y之之间间的关系的关系为为V=Kx2y,(x,y)0 x1,0y10 x1,0y1,其中,其中K为为反反应应速速度常数。当度常数。当(x,y)在一定范在一定范围围内取定一内取定一对对数数值时值时,V的的对应值对应值就随之确定了。就随之确定了。第3页,此课件共70页哦w定义定义1 给定一个数对集合给定一个数对集合D和一个实数集合和一个实数集合M,若按照若按照某一确定的对应法则某一确定的对应法则f,D内每一
7、数对(内每一数对(x,y)有惟)有惟一的一个实数一的一个实数z M与之对应,则称与之对应,则称f是定义在是定义在D上的二上的二元函数,记作元函数,记作f:DM,其中数对集合,其中数对集合D称为函数称为函数f的的定义域,定义域,D中任一点(中任一点(x,y)根据对应法则)根据对应法则f所对应的实所对应的实数数z,称为,称为f在点(在点(x,y)的函数值,记作)的函数值,记作z=f(x,y)。w若把定义域中的点(若把定义域中的点(x,y)的两个坐标)的两个坐标x与与y作为变作为变量看待,则称这两个变量为函数量看待,则称这两个变量为函数f的自变量,的自变量,z称为称为函数函数f的因变量。的因变量。w
8、类似地,可以定义三元函数、四元函数,类似地,可以定义三元函数、四元函数,n元函数。元函数。多于一个自变量的函数统称为多元函数。多于一个自变量的函数统称为多元函数。第4页,此课件共70页哦w二元函数的定义域一般是平面上的一个区域,通常用二元函数的定义域一般是平面上的一个区域,通常用D来来表示。平面上的区域指的是由一条或几条曲线所围成的平面表示。平面上的区域指的是由一条或几条曲线所围成的平面的一部分,围成区域的曲线称为该区域的边界。连同边界在的一部分,围成区域的曲线称为该区域的边界。连同边界在内的区域称为闭区域,不包括边界在内的区域称为开区域。内的区域称为闭区域,不包括边界在内的区域称为开区域。如
9、果区域延伸到无限远处,称这个区域是无界的;否则就称如果区域延伸到无限远处,称这个区域是无界的;否则就称区域是有界的。区域是有界的。w在例题在例题1中,函数中,函数S=2RH的定义域是的定义域是(R,H)R 0,H0;例题;例题2的定义域是的定义域是(T,p)T0,p0;例题;例题3的定义域是的定义域是(x,y)0 x1,0y1。其中前两个。其中前两个区域是无界的,后一个是有界的,且是闭的。区域是无界的,后一个是有界的,且是闭的。第5页,此课件共70页哦RxHyxyxy32-3-2oooo图1图3图2图4w例题4 函数定义域是闭单位圆:(x,y)0 x2+y21例题5 函数 定义域是闭矩形:(x
10、,y)-2x2,-3y3第6页,此课件共70页哦w所谓一点的邻域,是指以该点为中心的一个圆形开区域。所谓一点的邻域,是指以该点为中心的一个圆形开区域。例如,适合不等式例如,适合不等式w的一切点(的一切点(x,y)组成以)组成以P0(x0,y0)为圆心,)为圆心,为为半径的邻域,简称为点半径的邻域,简称为点P0的的邻域,记为邻域,记为(P0,)或或(P0)。区域)。区域D内部的点简称为内点,区域内部的点简称为内点,区域D的边的边界上的点称为边界点。内点与边界点的区别如下:界上的点称为边界点。内点与边界点的区别如下:若点若点P为内点,则必存在点为内点,则必存在点P的一个邻域完全包含在的一个邻域完全
11、包含在D内,若点内,若点P为边界点,则不论点为边界点,则不论点P的邻域多么小,必的邻域多么小,必定同时含有定同时含有D内的点和内的点和D外的点。外的点。第7页,此课件共70页哦w二元函数的几何表示二元函数的几何表示 设二元函数设二元函数z=f(x,y)的定义域为的定义域为D,对于,对于D内任意一点内任意一点P(x,y),我们把我们把x,y以及和它们以及和它们对应的值对应的值z=f(x,y)三者看成空间直角坐标系中点的坐标。三者看成空间直角坐标系中点的坐标。这样对于这样对于D中的任意一点中的任意一点P(x,y),按照对应法则),按照对应法则z=f(x,y),就有空间中的一点,就有空间中的一点M(
12、x,y,z)与之对应,)与之对应,当点当点P在在D内变动时,点内变动时,点M就在空间变动,点就在空间变动,点M的轨迹就的轨迹就是函数是函数z=f(x,y)的图形。一般说来,它是一个曲面,二的图形。一般说来,它是一个曲面,二元函数元函数z=f(x,y)定义域定义域D就是此曲面在就是此曲面在xoy坐标面上的坐标面上的投影区域,这就是二元函数的几何表示。投影区域,这就是二元函数的几何表示。第8页,此课件共70页哦w例如z=x2+y2,其定义域D是全平面,由空间解析几何知道,函数的图形是位于xoy平面上方的旋转抛物面。ezsurf(x2+y2,circ);shading flat;view(-18,2
13、8)第9页,此课件共70页哦w又如函数而函数它们的定义域为(x,y)x2+y2a2。的图形是以坐标原点为球心,a为半径的上半球面,的图形则是同一个球的下半球面,当自变量的个数多于两个时,函数就不可以用当自变量的个数多于两个时,函数就不可以用几何图形直观地表示出来。几何图形直观地表示出来。第10页,此课件共70页哦x=cos(s)*cos(t);y=cos(s)*sin(t);z=sin(s);subplot(1,2,2)ezsurf(x,y,z,0,pi/2,0,2*pi)%view(45,45);shading interp;colormap(spring)x=cos(s)*cos(t);y
14、=cos(s)*sin(t);z=-sin(s);subplot(1,2,3)ezsurf(x,y,z,0,pi/2,0,2*pi)%view(45,45);shading interp;colormap(spring)画函数的图形 第11页,此课件共70页哦二元函数的极限与连续性二元函数的极限与连续性多元函数的极限及连续性多元函数的极限及连续性 要求:要求:1、理解掌握二元函数极限的定义,掌握二元、理解掌握二元函数极限的定义,掌握二元函数连续的概念函数连续的概念2、会求简单的二元函数的极限,能判断比较简单的、会求简单的二元函数的极限,能判断比较简单的二元函数的连续性二元函数的连续性3、掌握连
15、续函数的两个基本性质、掌握连续函数的两个基本性质最值定理,介值定理最值定理,介值定理重点:二元函数极限和连续的定义重点:二元函数极限和连续的定义难点:判断二元函数是否存在极限难点:判断二元函数是否存在极限第12页,此课件共70页哦 1.二元函数的极限二元函数的极限 第13页,此课件共70页哦注意:点趋向于点的方式是任意的。如果点P只是沿着某一特殊途径趋向于点P0,即使这时函数趋向于某一确定值,也不能断定函数的极限存在。第14页,此课件共70页哦例题1 考察函数在点(0,0)的极限。(MATLAB图形命令ezsurf(x*y/(x2+y2),circ);view(1,1,1);shading f
16、lat)图形如右)第15页,此课件共70页哦解:因为在x轴上,故当点P(x,y)沿x轴趋向于(0,0)时同样,在y轴上,故当点P(x,y)沿x轴趋向于(0,0)时虽然沿上面两条特殊路径函数都趋向于0,是不存在的。但第16页,此课件共70页哦因为当点P沿着路径趋向于点(0,0)时,有它的值随着k的变化而变化,故极限不存在。第17页,此课件共70页哦例题2 设函数证明(MATLAB作图命令,从不同方向观察图形)作图命令,从不同方向观察图形)ezsurf(x*y/sqrt(x2+y2),circ);view(1,1,1);shading flatezsurf(x*y/sqrt(x2+y2),circ
17、);view(0,1,0);shading flat第18页,此课件共70页哦证证明:明:设其中于是任给正数取则当时,有所以第19页,此课件共70页哦下列说法正确吗?当动点沿着任意一条直线(k为任意常数)趋向于点(0,0)时,有答:不能.等于A,则存在.当动点(x,y)沿着任意一条直线趋向于点(0,0)时,函数的极限存在且例如第20页,此课件共70页哦但当沿抛物线趋向于(0,0)时,有故不存在。第21页,此课件共70页哦注注:根据二重极限的定根据二重极限的定义义,在点在点的的邻邻域内域内,动动点点趋趋向于向于的方式是任意的的方式是任意的.于是常常用于是常常用动动点取不同的点取不同的的方法来判定
18、函数极限不存在的方法来判定函数极限不存在.路径趋向于路径趋向于使其有不同极限使其有不同极限第22页,此课件共70页哦第23页,此课件共70页哦第24页,此课件共70页哦例题3 设试证明在原点处连续。即可取当证明:给定任意小正数第25页,此课件共70页哦时就有(MATLAB作图命令)ezsurf(x*y*(x2-y2)/(x2+y2),circ);view(1,1,1);shading flat),所以在原点连续。第26页,此课件共70页哦函数的不函数的不连续连续点称点称为间为间断点。如函数断点。如函数在点(在点(0,0)的极限不存在,所以)的极限不存在,所以该该点是函数的点是函数的一个一个间间
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