第十五次课相似矩阵及矩阵的对角化课件.ppt
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1、第十五次课相似矩阵及矩阵的对角化第1页,此课件共42页哦一、相似矩阵的概念一、相似矩阵的概念 定义定义1 1 设设A A,B B为为n n阶方阵,如果存在可逆矩阵阶方阵,如果存在可逆矩阵P P,使得,使得 P P 1 1 A PA P=B B成立,则称矩阵成立,则称矩阵A A与与B B相似,记为相似,记为A A B B。称。称P P为相似变换矩阵。为相似变换矩阵。相似关系是矩阵间的一种等价关系,即满足相似关系是矩阵间的一种等价关系,即满足 自反性:自反性:A A A A ,对称性:对称性:若若A A B B,则则B B A A 传递性传递性:若:若A A B B,B B ,则则 A A 第2页
2、,此课件共42页哦 1.1.如果方阵如果方阵A A与与B B相似,则它们有相同的特征多项式,从而有相相似,则它们有相同的特征多项式,从而有相 同的特征值。即同的特征值。即 若若A A B B,则,则|l lE-A|=|l lE-B|l lE-B|=|P-1(l lE)P-P-1AP|=|l lE-P-1AP|=|P-1(l lE-A)P|=|P-1|l lE-A|P|=|l lE-A|,二、相似矩阵的性质二、相似矩阵的性质 A与与B有相同的特征多项式,有相同的特征多项式,所以它们有相同的特征值。所以它们有相同的特征值。2.2.相似矩阵的行列式相等。即若相似矩阵的行列式相等。即若AB,则,则|A
3、|=|B|B|=|P-1AP|=|P-1|A|P|=|A|P-1P|=|A|证明:证明:因为因为P-1AP=B,第3页,此课件共42页哦3.3.相似矩阵有相同的迹。相似矩阵有相同的迹。即即 若若AB,则,则4.4.相似矩阵或者都可逆,或者都不可逆。相似矩阵或者都可逆,或者都不可逆。若都可逆,其逆矩阵也相似。若都可逆,其逆矩阵也相似。第4页,此课件共42页哦 5.5.相似矩阵有相同的秩。即若相似矩阵有相同的秩。即若AB,则,则R(A)=R(B)注意:以上性质均注意:以上性质均为相似的必要条件为相似的必要条件,可以用来,可以用来排除哪些矩阵不相似。排除哪些矩阵不相似。第5页,此课件共42页哦例例5
4、若相似于对角阵若相似于对角阵L L,则存在可逆阵,使,则存在可逆阵,使则则A=PL L P-1 A=(PL L P-1)()(PL L P-1)PL L P-1,AAA(PL L P-1)()(PL L P-1)PL LP-1,AmPL L m P-1证明证明因为相似于对角阵因为相似于对角阵L L,故存在可逆阵,使,故存在可逆阵,使P-1A P L L,一般的:一般的:AmPL L m P-1。第6页,此课件共42页哦利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式k个个第7页,此课件共42页哦利用上利用上述结论可以述结论可以很方便地计很方便地计算矩阵算矩阵A的的多项式多项式.第8页,此课
5、件共42页哦定理定理证明证明第9页,此课件共42页哦例例1若若求求x,y解得:解得:x=-17,y=-12解解:由于和相似,所以:由于和相似,所以tr(A)=tr(B),|A|=|B|,即即22+x =1+422x-31y=4-6第10页,此课件共42页哦解解:由于矩阵和相似,所以:由于矩阵和相似,所以|A|=|D|,即即|A|=|D|12.例例设设3阶方阵阶方阵A相似于矩阵相似于矩阵,求,求|A|第11页,此课件共42页哦第12页,此课件共42页哦三、三、n n 阶方阵与对角矩阵相似的条件阶方阵与对角矩阵相似的条件相似矩阵具有许多共同的性质,因此,对于相似矩阵具有许多共同的性质,因此,对于n
6、 n 阶方阵阶方阵A A,我我们们希希望望在在与与A A相相似似的的矩矩阵阵中中寻寻求求一一个个较较简简单单的的矩矩阵阵。在在研研究究A A的性质时,只需先研究这一较简单矩阵的同类性质。的性质时,只需先研究这一较简单矩阵的同类性质。下页下页若若 方阵方阵A与一个对角阵与一个对角阵L L相似,则称方阵相似,则称方阵A可对角化可对角化。记为记为 A L L,并称并称 LL 是是A 的相似标准形。的相似标准形。问问 n n 阶方阵阶方阵A与一个对角矩阵与一个对角矩阵LL相似的条件?相似的条件?第13页,此课件共42页哦(l l1X1,l l2X2,l lnXn)(X1,X2,Xn)l l1 10 0
7、0l l2 2 000 l ln 思考题思考题=?第14页,此课件共42页哦下面讨论对角化的问题下面讨论对角化的问题这说明这说明:如果:如果A可对角化,它必有可对角化,它必有n个线性无关的特征向量,就是个线性无关的特征向量,就是P的的n个列;反之,如果个列;反之,如果A有有n个线性无关的特征向量,把它拼成矩阵个线性无关的特征向量,把它拼成矩阵P(可逆可逆),把上面过程逆过来即知,把上面过程逆过来即知A可对角化。可对角化。定理定理n阶矩阵阶矩阵A可对角可对角化的充要条件是化的充要条件是A有有n个线性无个线性无关的特征向量。关的特征向量。第15页,此课件共42页哦二、矩阵的对角化二、矩阵的对角化(
8、利用相似变换把方阵对角化)(利用相似变换把方阵对角化)定理5.3(P130)阶矩阵 可对角化(与对角阵相似)有 个线性无关的特征向量。注意:这时P和对角阵是如何构成的?第16页,此课件共42页哦可验证可验证线性无关,故线性无关,故A可对角化可对角化.见后面注见后面注第第1步步求特征值求特征值即求即求的基础解系的基础解系第第2步步求线性无关的特征向量,求线性无关的特征向量,例例2 2讨论矩阵讨论矩阵是否可对角化是否可对角化.若可以,求若可以,求可逆矩阵可逆矩阵P使使为对角矩阵为对角矩阵.参见参见5.1例例3第17页,此课件共42页哦第第3步步把线性无关的特征向量拼成可逆矩阵把线性无关的特征向量拼
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- 第十 五次 相似 矩阵 角化 课件
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