行列式按行列展开 讲稿.ppt
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1、关于行列式按行列展开 第一页,讲稿共三十五页哦三阶行列式:三阶行列式:(一)按某一行(列)展开余子式余子式三阶降成了二阶!三阶降成了二阶!则则代数余子式代数余子式第二页,讲稿共三十五页哦余子式余子式讨论讨论 n 阶行列式阶行列式:n-1阶行列式阶行列式Aij=(-1)i+j Mijaij 的的 代数余子式代数余子式 第三页,讲稿共三十五页哦定理定理1.41.4 (P.22)(P.22)按行展开按行展开按列展开按列展开即:即:D 等于第等于第 i 行(行(列列)元素)元素与与对应的代数余子式乘积的和。对应的代数余子式乘积的和。第四页,讲稿共三十五页哦证证(下面就四阶行列式给出证明,方法是从特殊到
2、一般。)(下面就四阶行列式给出证明,方法是从特殊到一般。)“1”不与其余数构成逆序不与其余数构成逆序第五页,讲稿共三十五页哦第六页,讲稿共三十五页哦(3)四阶行列式按第三行展开的结果四阶行列式按第三行展开的结果n阶行列式按第阶行列式按第i行展开:行展开:第七页,讲稿共三十五页哦P.25例例2 计算行列式计算行列式解解 按第三列展开按第三列展开其中:其中:展开原则:展开原则:选选 0 元素最多的行(元素最多的行(列列)展开。)展开。第八页,讲稿共三十五页哦所以所以注注:对于三阶行列式,也可展成二阶,零元素多时可直接计算;对于三阶行列式,也可展成二阶,零元素多时可直接计算;用展开定理之前,可先用性
3、质将某行(列用展开定理之前,可先用性质将某行(列)化成只含一个非零化成只含一个非零元。元。第九页,讲稿共三十五页哦解解2按按第二行第二行展开展开按按第一列第一列展开展开第十页,讲稿共三十五页哦P.26(28)例例3 当当k为何值时为何值时解解第十一页,讲稿共三十五页哦P.27例例4 求证求证第十二页,讲稿共三十五页哦证证按第按第1列展开列展开第十三页,讲稿共三十五页哦n-1阶阶第十四页,讲稿共三十五页哦例例5(P28)证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式第十五页,讲稿共三十五页哦证明证明(数学归纳法数学归纳法),结论成立。,结论成立。按第按第1列展开列展开第十六页,讲稿共
4、三十五页哦根据归纳假设有:根据归纳假设有:综上所述,结论成立综上所述,结论成立 。第十七页,讲稿共三十五页哦例例6(P29)计算行列式计算行列式12张解解 V是是 的范德蒙行列式,的范德蒙行列式,故故第十八页,讲稿共三十五页哦即即:第第 i 行元素与另一行元素的代数余子式乘积的和等于零。行元素与另一行元素的代数余子式乘积的和等于零。定理定理1.51.5 (P.23)P.23)证证0=i 行s 行2和和10对应的代数余子对应的代数余子式相同:式相同:第十九页,讲稿共三十五页哦综合定理综合定理1.4,定理,定理1.5对于对于行行:对于对于列列:第二十页,讲稿共三十五页哦例例解法一:解法一:解法二:
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