二元关系和函数.ppt
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1、二元关系和函数 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必。有生命必有希望有希望重点:重点:序偶与笛卡尔积序偶与笛卡尔积序偶与笛卡尔积序偶与笛卡尔积,关系关系关系关系的的的的性质性质,等价等价关系关系和和和和等价类等价类与集合划分的概念及其求证与集合划分的概念及其求证与集合划分的概念及其求证与集合划分的概念及其求证,关系的关系的关系的关系的合成合成、闭包闭包运算运算运算运算,相容相容关系关系关系关系和和和和序序关系关系关系关系。掌握掌握掌握掌握函数函数的基本性质的基本性质的基本性质
2、的基本性质,复合函数与反函数运复合函数与反函数运复合函数与反函数运复合函数与反函数运算。算。算。算。难点:难点:正确地掌握关系的正确地掌握关系的正确地掌握关系的正确地掌握关系的自反性自反性自反性自反性、反自反性反自反性反自反性反自反性、对称性对称性对称性对称性、反对称性反对称性反对称性反对称性和和和和传递性传递性传递性传递性,等价关系及其等价关系及其等价关系及其等价关系及其证明方法证明方法证明方法证明方法,传递闭包的正确运算及证明。相传递闭包的正确运算及证明。相传递闭包的正确运算及证明。相传递闭包的正确运算及证明。相容关系与序关系的相互区分。容关系与序关系的相互区分。容关系与序关系的相互区分。
3、容关系与序关系的相互区分。双射双射双射双射函数函数函数函数,复复复复合函数与反函数。合函数与反函数。合函数与反函数。合函数与反函数。第四章第四章 二元关系和函数二元关系和函数4.1 集合的笛卡尔积与二元关系集合的笛卡尔积与二元关系4.2 关系的运算关系的运算4.3 关系的性质关系的性质4.4 关系的闭包关系的闭包4.5 等价关系和等价关系和偏序关系偏序关系4.6 函数的定义和性质函数的定义和性质4.7 函数的复合和反函数函数的复合和反函数4.1 集合的笛卡儿积与二元关系集合的笛卡儿积与二元关系一、有序对一、有序对定义定义4.1 由两个元素由两个元素 x 和和 y(允许允许 x=y)按按一定的一
4、定的顺序顺序排列成的排列成的二元组二元组叫做一个叫做一个有序有序对对(也称也称序偶序偶),记作记作,其中其中 x 是它是它的的第一元素第一元素,y 是它的是它的第二元素第二元素。例:例:平面直角坐标系中点的坐标平面直角坐标系中点的坐标有序对的有序对的有序对的有序对的性质性质性质性质:1.1.有序性有序性有序性有序性:当:当:当:当 x x y y 时时时时,。2.2.的的的的充分必要条件充分必要条件充分必要条件充分必要条件是是是是例:例:=,求求 x,y。解:解:3y 4=2,x+5=y y=2,x=3=x=u y=v定义定义4.2 一个一个一个一个有序有序有序有序 n n 元组元组元组元组(
5、n n3)3)是一个有是一个有是一个有是一个有序对序对序对序对,其中第一个元素是一个有序其中第一个元素是一个有序其中第一个元素是一个有序其中第一个元素是一个有序 n n-1-1元元元元组组组组,一个有序一个有序一个有序一个有序 n n元组记作:元组记作:元组记作:元组记作:,即即即即 ,x xn n 例:例:空间直角坐标系中点的坐标空间直角坐标系中点的坐标空间直角坐标系中点的坐标空间直角坐标系中点的坐标 ,等等等等,都是有序都是有序都是有序都是有序3 3元组。元组。元组。元组。n n 维空间中点的坐标维空间中点的坐标维空间中点的坐标维空间中点的坐标或或或或 n n 维向量维向量维向量维向量都是
6、有序都是有序都是有序都是有序n n元组。元组。元组。元组。二、笛卡尔积二、笛卡尔积定义定义4.3 设设设设A A,B B为为为为集合集合集合集合,用用用用A A中元素为中元素为中元素为中元素为第一第一第一第一元素元素元素元素,B B中元素为中元素为中元素为中元素为第二元素第二元素第二元素第二元素,构成构成构成构成有序对有序对有序对有序对,所有这样的所有这样的所有这样的所有这样的有序对有序对有序对有序对组成的组成的组成的组成的集合集合集合集合叫做叫做叫做叫做A A和和和和B B的的的的笛卡儿积笛卡儿积笛卡儿积笛卡儿积,记作记作记作记作ABAB。符号化表示为。符号化表示为。符号化表示为。符号化表示
7、为 ABAB|x x A A y y B B 例:例:Aa,b,B0,1,2,则则ABAB,BABA,问:问:如果如果A中有中有m个元素个元素,B中有中有n个元素个元素,则则 AB 和和 BA 中都有多少个元素中都有多少个元素?答:答:mn 个个若若 AB,则有则有x A 和和 y B。若若 AB,则有则有x A 或者或者 y B.笛卡儿积运算的性质1.1.若若若若A,BA,B中有一个中有一个中有一个中有一个空集空集空集空集,则它们的笛卡儿积是则它们的笛卡儿积是则它们的笛卡儿积是则它们的笛卡儿积是空集空集空集空集,即即即即 B BAA 2.2.当当当当ABAB且且且且A,BA,B都都都都不是空
8、集不是空集不是空集不是空集时时时时,有有有有 ABBAABBA所以所以所以所以,笛卡儿积运算笛卡儿积运算笛卡儿积运算笛卡儿积运算不适合交换律不适合交换律不适合交换律不适合交换律。3.3.当当当当A,B,CA,B,C都都都都不是空集不是空集不是空集不是空集时时时时,有有有有 (AB)CA(BC)(AB)CA(BC)所以所以所以所以,笛卡儿积运算笛卡儿积运算笛卡儿积运算笛卡儿积运算不适合结合律不适合结合律不适合结合律不适合结合律。性质的证明性质的证明证明:证明:证明:证明:A A (B BC C)=()=(A A B B)(A A C C)证:证:证:证:任取任取任取任取 A A(B BC C)x
9、 xA Ay yB BC C x xA A(y yB By yC C)(x xA Ay yB B)(x xA Ay yC C)A A B B A A C C (A A B B)(A A C C)A A(B BC C)=()=(A A B B)(A A C C)例题例题 解解:(1)(1)任取任取任取任取 A A C C x x A A y y C C x x B B y y D D B B D D 例例:(1)(1)证明证明证明证明 A A=B B C C=D D A A C C=B B D D (2)(2)A A C C=B B D D是否推出是否推出是否推出是否推出 A A=B B C C
10、=D D?为什么为什么为什么为什么?(2)(2)不一定不一定不一定不一定。反例如下反例如下反例如下反例如下:A A=1,=1,B B=2,=2,C C=D D=,则则则则 A A C C=B B D D 但是但是但是但是 A A B B。笛卡儿积运算的性质4.4.笛卡儿积运算笛卡儿积运算笛卡儿积运算笛卡儿积运算对对对对或或或或 运算运算运算运算满足分配律满足分配律满足分配律满足分配律,即即即即 A(BA(BC)C)(AB)(AB)(AC)(AC);(B(BC)A C)A (BA)(BA)(CA)(CA);A(BC)A(BC)(AB)(AC)(AB)(AC);(BC)A (BC)A (BA)(C
11、A)(BA)(CA)。证明证明 A(BA(BC)C)(AB)(AB)(AC)(AC)证:证:对于任意的对于任意的对于任意的对于任意的,A(BA(BC)C)x xA Ay yB BC C x xA A(y y B By yC)C)(x xA Ay y B)B)(x xA Ay yC)C)ABAB AC AC (AB)(AB)(AC).(AC).A(BA(BC)C)(AB)(AB)(AC)(AC)。例例4.1 设设设设A=1,2,A=1,2,求求求求:(A)A(A)A 解:解:(A)A (A)A ,1,2,1,21,2,1,2,1,21,2 ,2,例例4.2 设设设设A,B,C,DA,B,C,D为
12、任意集合为任意集合为任意集合为任意集合,判断以下判断以下判断以下判断以下等式是否成立等式是否成立等式是否成立等式是否成立,说明为什么。说明为什么。说明为什么。说明为什么。(1)(AB)(CD)(1)(AB)(CD)(AC)(BD)(AC)(BD);(2)(A(2)(AB)(CB)(CD)D)(AC)(AC)(BD)(BD);(3)(A(3)(AB)(CB)(CD)D)(AC)(AC)(BD)(BD);(4)(A(4)(A B)(CB)(C D)D)(AC)(AC)(BD)(BD)。解解解解:(1)(1)成立成立成立成立。因为对于任意的。因为对于任意的。因为对于任意的。因为对于任意的 ,(AB)
13、(CD)(AB)(CD)x x AB AB y y CDCD x x A Ax x B B y y C Cy y D D ACAC BD BD (AC)(BD)(AC)(BD)(2)(2)不成立不成立不成立不成立。举一反例如下举一反例如下举一反例如下举一反例如下:若若若若A AD D,B,BC C1 1 则有:则有:则有:则有:(A(AB)(CB)(CD)D)BCBC,(AC)(AC)(BD)(BD)。(3)(3)和和和和(4)(4)都都都都不成立不成立不成立不成立例例4.3 设设设设A,B,C,DA,B,C,D为任意集合为任意集合为任意集合为任意集合,判断以下命题判断以下命题判断以下命题判断
14、以下命题的真假。的真假。的真假。的真假。(1)(1)若若若若A A C C且且且且B B D,D,则有则有则有则有ABAB CDCD。(2)(2)若若若若ABAB CD,CD,则有则有则有则有A A C C且且且且B B D.D.解解(1)(1)命题为真命题为真命题为真命题为真。请思考:为什么?。请思考:为什么?。请思考:为什么?。请思考:为什么?(2)(2)命题为假命题为假命题为假命题为假。当。当。当。当A AB B时时时时,或者或者或者或者AA且且且且BB时时时时,该命题的结论是成立的。但是当该命题的结论是成立的。但是当该命题的结论是成立的。但是当该命题的结论是成立的。但是当A A和和和和
15、B B之中仅有一个为之中仅有一个为之中仅有一个为之中仅有一个为时时时时,结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立,例如例如例如例如,令令令令A AC CD D,B,B1,1,这时这时这时这时ABAB CD,CD,但但但但 B B D D。定义定义4.4 设设设设A A1 1,A,A2 2,A,An n是集合是集合是集合是集合(n2),(n2),它们的它们的它们的它们的n n阶笛卡儿积阶笛卡儿积阶笛卡儿积阶笛卡儿积,记作记作记作记作A A1 1AA2 2AAn n,其中其中其中其中A Al lAA2 2AAn n|x x1 1A Al lx x2 2A A2 2x xn nA A
16、n n 例例:A=a,b,:A=a,b,则则则则A A3 3=,=,三、二元关系三、二元关系的定义的定义 所谓所谓所谓所谓二元关系二元关系二元关系二元关系就是在集合中就是在集合中就是在集合中就是在集合中两个元素之间两个元素之间两个元素之间两个元素之间的某种的某种的某种的某种相关性相关性相关性相关性。例例:甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛,如果如果如果如果任何两个人之间都要赛一场任何两个人之间都要赛一场任何两个人之间都要赛一场任何两个人之间都要赛一场,那么共要赛三那么共要赛三那么共要赛三那么共要赛三场。假设三
17、场比赛的结果是场。假设三场比赛的结果是场。假设三场比赛的结果是场。假设三场比赛的结果是乙胜甲乙胜甲乙胜甲乙胜甲、甲胜丙甲胜丙甲胜丙甲胜丙、乙胜丙乙胜丙乙胜丙乙胜丙,这个结果可以记作这个结果可以记作这个结果可以记作这个结果可以记作,其中其中其中其中 表示表示表示表示 x x 胜胜胜胜 y y。它表示了。它表示了。它表示了。它表示了集合集合集合集合 甲甲甲甲,乙乙乙乙,丙丙丙丙 中中中中元素之间元素之间元素之间元素之间的一种的一种的一种的一种胜负关系胜负关系胜负关系胜负关系。例:例:有有A,B,C三个人和四项工作三个人和四项工作,已知已知A可以从事工作可以从事工作,B可以从事工作可以从事工作,C可
18、以从事工作可以从事工作,。那么人和工作之。那么人和工作之间的对应关系可以记作间的对应关系可以记作R,这是人的这是人的集合集合A,B,C 到到工作的工作的集合集合,之间的之间的关系关系。定义定义4.5 如果一个集合为如果一个集合为如果一个集合为如果一个集合为空集空集空集空集或者它的或者它的或者它的或者它的元元元元素都是素都是素都是素都是有序对有序对有序对有序对,则称这个则称这个则称这个则称这个集合集合集合集合是一个是一个是一个是一个二元二元二元二元关系关系关系关系,一般一般一般一般记作记作记作记作R R。对于二元关系对于二元关系对于二元关系对于二元关系R,R,如果如果如果如果 R,R,可记作可记
19、作可记作可记作 xRyxRy;如果如果如果如果 R,R,可记作可记作可记作可记作 x yx y。R四、从四、从A到到B的关系与的关系与A上的关系上的关系定义定义定义定义4.64.6 设设设设A,BA,B为集合为集合为集合为集合,AB,AB的任何子集所定义的的任何子集所定义的的任何子集所定义的的任何子集所定义的二元关系称作二元关系称作二元关系称作二元关系称作从从从从A A到到到到B B的二元关系的二元关系的二元关系的二元关系,特别当特别当特别当特别当A AB B时时时时,则叫做则叫做则叫做则叫做A A上的二元关系上的二元关系上的二元关系上的二元关系。关系关系关系关系 R R A A B,R B,
20、R 是是是是从从从从A A到到到到B B的二元关系的二元关系的二元关系的二元关系关系关系关系关系 R R A A A,R A,R 是是是是A A上的二元关系上的二元关系上的二元关系上的二元关系计数计数计数计数 A A上有多少个不同的二元关系上有多少个不同的二元关系上有多少个不同的二元关系上有多少个不同的二元关系?|A|=n|A|=n|AA|=n|AA|=n2 2|P(AA)|=2|P(AA)|=2n n2 2每一个子集代表一个每一个子集代表一个每一个子集代表一个每一个子集代表一个A A上的关系上的关系上的关系上的关系,共共共共 2 2n n2 2个关系。个关系。个关系。个关系。A上重要关系的特
21、例上重要关系的特例对于任何集合对于任何集合A,空集空集是是AA的子集的子集,叫做叫做A上的上的空关系空关系。定义定义4.7 对任意集合对任意集合A,定义:定义:EA=|x Ay A=AA 全域全域全域全域关系关系关系关系 IA=|x A 恒等关系恒等关系恒等关系恒等关系例例:A A=0,1,2,=0,1,2,则则则则 E EA A,I IA A,。集合集合A A上的常见关系上的常见关系上的常见关系上的常见关系小于或等于关系小于或等于关系:LA=|x x,y yAx xy y。其中:其中:A R 整除关系整除关系:DB=|x x,y yBx x整除整除y y,其中:其中:B Z*,Z*是非零整数
22、集是非零整数集包含关系包含关系:R|x x,y yAx x y y,其中:其中:A是集合族。是集合族。例:例:例:例:设设 A=1,2,3,Ba,b 则则 LA=,DA=,例例4.4 设设设设A Aa,b,Ra,b,R是是是是P(A)P(A)上的包含关系上的包含关系上的包含关系上的包含关系,R R|x x,y yP(A)P(A)x x y y 则有则有则有则有P(A)P(A),a,b,A,a,b,A。R R,b,A,例:例:设设A=1,2,3,4,下面各式定义的下面各式定义的R都都是是A上的关系上的关系,试用列元素法表示试用列元素法表示R。(1)R=|x是是y的倍数的倍数(2)R=|(x-y)
23、2A(3)R=|x/y是素数是素数(4)R=|xy 解:解:解:解:(1)R=(1)R=,(2)R=(2)R=,(3)R=,(3)R=,(4)R=E(4)R=EA AI IA A=,=,关系的表示关系的表示表示方式表示方式:关系的集合表达式、关系矩关系的集合表达式、关系矩关系的集合表达式、关系矩关系的集合表达式、关系矩阵、关系图阵、关系图阵、关系图阵、关系图 关系矩阵关系矩阵:若若若若A A=x x1 1,x x2 2,x xmm,B B=y y1 1,y y2 2,y yn n,R R是从是从是从是从A A到到到到B B的关系的关系的关系的关系,R R的关系矩阵是的关系矩阵是的关系矩阵是的关
24、系矩阵是布尔矩阵布尔矩阵布尔矩阵布尔矩阵MMR R=r rij ij mm n n,其中其中其中其中 r rij ij=1=1 R R。关系图关系图:若:若:若:若A A=x x1 1,x x2 2,x xmm,R R是从是从是从是从A A上的关系上的关系上的关系上的关系,R R 的关系图是的关系图是的关系图是的关系图是G GR R=,其中其中其中其中 A A为结点集为结点集为结点集为结点集,R R 为边集为边集为边集为边集,如果如果如果如果 属于关属于关属于关属于关系系系系R R,在图中就有一条从在图中就有一条从在图中就有一条从在图中就有一条从 x xi i 到到到到 x xj j 的有向边
25、的有向边的有向边的有向边。注意注意:A A,B B为有穷集为有穷集为有穷集为有穷集关系矩阵关系矩阵关系矩阵关系矩阵适于表示从适于表示从适于表示从适于表示从 A A 到到到到 B B 的关系或者的关系或者的关系或者的关系或者 A A上的关系上的关系上的关系上的关系关系图关系图关系图关系图适于表示适于表示适于表示适于表示 A A 上的关系上的关系上的关系上的关系关系图关系图关系图关系图G GR R例:例:设设设设A A1,2,3,4,A1,2,3,4,A上的关系上的关系上的关系上的关系 R R,求:求:R R的关系矩阵的关系矩阵的关系矩阵的关系矩阵MMR R和关系图和关系图和关系图和关系图G GR
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