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1、以前我们学过以前我们学过节点法节点法方程,是选方程,是选定电路(网络)定电路(网络)N内内某一节点为某一节点为参参考点考点的基础列写的。的基础列写的。1.全节点全节点方程方程称为称为定定导纳阵导纳阵。其其方程数方程数等于等于独立节点数独立节点数(n-1),),非奇异,非奇异,存在,存在,3-63-6全节点全节点方程与方程与不定不定导纳阵导纳阵(P131)若把电位若把电位参考点参考点改在电路改在电路N的的外部外部,则得到的电路的,则得到的电路的全部节全部节点点为变量的为变量的n个个方程。方程。称为称为全节点方程全节点方程,求法与原来,求法与原来 相同相同不存在,称为不存在,称为不定不定导纳阵。导
2、纳阵。显然显然Yi的的行行是线性是线性相关的相关的det(Yi)=0由于由于参考点参考点选在电网络选在电网络N外外,全,全节点方程和不定导纳阵节点方程和不定导纳阵非常灵活非常灵活,可用于可用于不同不同的的网络网络的的连接连接和和同一同一网络网络的的变换变换。2.意义意义从从Un中去掉中去掉Uk,In中去掉中去掉Ink,就得到以网络就得到以网络N中中k节点节点为参考为参考点的点的节点节点电压电压方程方程的的 k行行k列得列得 ,例如,划去例如,划去3.不定导纳阵不定导纳阵Yi的的基本性质基本性质为方便讨论为方便讨论不定导纳阵不定导纳阵的性质,把的性质,把YiUn=In描述的网络用图示的描述的网络
3、用图示的n 端网络端网络表示,表示,n 个个端子可对应端子可对应原原网络的网络的n个节点个节点,各端子可,各端子可与网络与网络外外的参考点之间施加电压源的参考点之间施加电压源U1,U2,U3Un(数值数值上上等于各节等于各节点电压点电压),),N中中不不含独立源含独立源。NI1I2In+U1+U2+UnNI1I2In+U1+U2+Un Yi 称为称为零和零和矩阵矩阵NI1I2In+U1+U2+Un000任取一任取一闭合面闭合面让让j端子端子与与外外部部参考点参考点之间接入之间接入Uj(相当于(相当于电压源电压源),),其余其余支路支路开路开路,由于由于N中无独立源中无独立源,Ij=0(电流(电
4、流无通无通路路),),U1=U2=U3=UjNI1IjIn+U1+Uj+Un无电流无电流通路通路+-UjYi为为零和阵,零和阵,因此因此所有一阶所有一阶代数代数余余子式相等,子式相等,称为称为等余因子等余因子特性。特性。由于由于Yik无论取何值,上式均成无论取何值,上式均成立,则:立,则:ij=11=22=nn,i=1,2,=n。由于由于Yik无论取何值无论取何值 ij=11=22=nni=1,2,=n。归纳:归纳:不定导纳不定导纳矩阵的矩阵的两个两个重要性质重要性质1)1)零和零和特性特性不定导纳不定导纳矩阵的矩阵的每一列每一列元素之和为零;元素之和为零;不定导纳不定导纳矩阵的矩阵的每一行每
5、一行元素之和为零。元素之和为零。满足满足零和零和特性的矩阵称为特性的矩阵称为零零-和矩阵和矩阵(Zero-sum Matrix)。2)2)等余因子等余因子特性特性零零-和矩阵的一个重要性质就是和矩阵的一个重要性质就是它的行列式的它的行列式的全部一阶余因子全部一阶余因子均相等均相等。等余因子矩阵等余因子矩阵(Equi-cofactor Matrix)。不定导纳不定导纳矩矩阵阵全部全部一阶一阶代数代数余余子式子式彼此相等彼此相等。I1I2I3+U1+U2+U3I1I2I3+U1+U2+U3为便于分析,下面把为便于分析,下面把网络节点网络节点分类(分类(P137)l可及可及(达)(达)节点节点:可加
6、电压、电流源,:可加电压、电流源,可测电压、电流的节点。可测电压、电流的节点。外部节点。外部节点。l半可半可及(达)及(达)节点节点:可加电压源,可:可加电压源,可测电压的节点。可测电压的节点。可连接不可移动连接不可移动l不可及(达)节点:不能测电压、电不可及(达)节点:不能测电压、电流的节点。流的节点。内部节点内部节点。例图例图(a)(a)网络中网络中,节点节点1 1、2 2、3 3、4 4为可及节点为可及节点,节点节点5 5和和6 6为不可及节点为不可及节点,试试消消去去不可及不可及节点。节点。解解:利用利用Y变变换首先换首先消去不可消去不可及节点及节点5,得图得图(b)所示网络所示网络,
7、其中其中图(a)图(b)图(b)图图(c)(c)利用利用星网星网变换变换消去消去不可及节不可及节点点6,可得图所可得图所示网络示网络,其中其中图图(c)(c)4.4.不定导纳阵的不定导纳阵的运算运算(1)端子)端子接地接地与与浮地浮地:以:以3端网络为例端网络为例划去划去j行行j列列得到以得到以j节点为参节点为参的定导纳阵(的定导纳阵(Yn)N 3 1 2N 3 1 2接地!接地!N 1 2 3N 1 2 3浮地!浮地!(2 2)短路收缩短路收缩(同一网络)(同一网络)N 1 3 2 1将将两个两个或多个或多个端子连接端子连接起来形成起来形成一一个新的端子个新的端子,相应的,相应的行和列行和列
8、相加。相加。N 1 3 2 1降阶了!降阶了!例例 四端四端网络的不定导纳矩阵为网络的不定导纳矩阵为如果将端子如果将端子2和和4短路收缩为新端子短路收缩为新端子2,则,则I2N 1 3 2I3I1U3I3=0I2N 1 3 2I1U3(3)开路抑制开路抑制(端口删减):使(端口删减):使删减删减后后的的某些端子某些端子变成变成不可及不可及节点节点I2N 1 3 2I3I1U3I3=0I2N 1 3 2I1U3相当于相当于分块分块高斯高斯消元消元(外节外节点,点,主元压缩主元压缩)两两n端网络并联端网络并联I2N1 1 3 2I3I1U3N2 1 3 2(4)网络并联网络并联两个具有两个具有相同
9、参考点相同参考点的网络的网络N1、N2对对应端子相连。应端子相连。I2N1 1 3 2I3I1U3N2 1 3 2n端端网络与网络与m端端网络网络并联(并联(n m)补补零零法法将将 m 阶增广到阶增广到n阶后相加阶后相加 2 1 4 3 G1G2G3 1 2C 4 3 2 1 4 3 G1G2G3 1 2C 4 3 这与前面生成的这与前面生成的Yn的送值表类似,即可的送值表类似,即可以以把一个复杂的把一个复杂的n端端网络写成网络写成由由n个二个二端网络端网络n次并联次并联生成的,几种生成的,几种常用元件常用元件的的不定导纳不定导纳阵阵P139-P141跳过(跳过(两两网络网络部分节点部分节点
10、相连)!相连)!设:有两个网络N1,N2;N1共n+1节点,参考点在N1中编号为0,其余节点的编号为1,2n1,N2共有n2个节点,(参与N1同在N2外)编号为n1+1,n1+2,n1+n2,n1的节点方程为Yn1Un1=In1,n2的全节点方程是Yn2Un2=In2,求N1,N2,p,p,q,q两对节点经Yp,Yq相连后的节点方程。分析:相连后构成参考节点在内部的新网络,p,p,q,q增加注入电流(5)两两网络网络部分节点部分节点相连(相连(逆分裂法逆分裂法)N1n1+1节点n1+n2IpInpn 110pqZp YpIqZq Yqqn1+1N2n2节点563 347121563 34721
11、例例 列出图示电路的节点方程列出图示电路的节点方程该题前面用矩阵该题前面用矩阵分块分块处处理过,下面用不定导纳理过,下面用不定导纳阵阵并联方法并联方法处理处理。处理处理。解:解:从节点处把原网络分开网络N1网络N2C6*ML2L1uS5R5。C7R3iS7R421563 3471C6*ML2L1E5R5。C7R3iS7R4对网路对网路N1列列节点节点电压方程电压方程网络N121网络网络N2对网对网N2列列全节点全节点电压方程(方法一)电压方程(方法一)C6*ML2L1E5R5。C7R3iS7R421网络网络N2C6*ML2L1E5R5。C7R3iS7R421网络网络N2N2的的全节点全节点方程
12、(方法二)方程(方法二)21N2的的全节点全节点方程(续)(方法二)方程(续)(方法二)对对N2列列KCL=+=+21网络网络N2C6*ML2L1E5R5。C7R3iS7R4若把此题若把此题改为改为图示有互感耦合网络的节图示有互感耦合网络的节点方程为点方程为*ML2L1。现现去掉去掉两线圈的两线圈的互感耦合互感耦合,试写出其节点方程。,试写出其节点方程。563 347121563 34721解:解:从从节点处把原网络分开(节点处把原网络分开(解法相同解法相同)网络网络N1网络网络N22121*ML2L1。与前面类似的与前面类似的方法方法可得可得到到网络网络N221*ML2L1。去去掉磁掉磁耦合
13、耦合后后N2的的节点节点方程为方程为网络网络N2*ML2L1。代入代入化简化简得得这类题目的这类题目的处理处理方法方法(1)先)先全全部部除除去!(去!(2)再加再加上上丢失丢失的部分!的部分!(1)把)把孩子孩子和和水水全全倒倒掉掉!(!(2)再再把把孩子孩子捡捡回来回来!网络并联网络并联简单简单!也可进行矩阵也可进行矩阵直接分块。直接分块。移去移去支路支路5.由由不定导纳不定导纳阵求多端口网络的阵求多端口网络的短路导纳短路导纳矩矩阵阵P141P144短路导纳短路导纳矩阵(矩阵(多口网络多口网络的赋定的赋定关系关系或约束)端口或约束)端口电流电流与与电压电压的的NN直接按定义求,并不好求。下
14、面介绍借助于下面介绍借助于不定导纳阵不定导纳阵求短路求短路导纳阵的方法。这是导纳阵的方法。这是重点重点内容之一,内容之一,也也有一定难度有一定难度。(1)由不定导纳阵求短路导纳)由不定导纳阵求短路导纳阵(端子数为阵(端子数为偶数偶数或或端口端口间无公共端子间无公共端子)设设多端口多端口网络网络N的的不定导纳不定导纳阵为阵为Yi则相应的全节点方程全节点方程为设网络N可以构成m个端口个端口,对应原来的2m个端子个端子(相当于2m个节点个节点),如图所示。N无独立源该该m端口端口网络(网络(短路短路)导纳参数为)导纳参数为Ysc,相应的方程为相应的方程为(3-6-8)(3-6-9)这里用J表示In。
15、N无独立源令每两个端子每两个端子构成一个端口一个端口,按端端口口条件,有(3-6-10)所谓所谓由不定导纳由不定导纳阵求阵求短路导纳短路导纳阵就是把阵就是把(3-6-8)(3-6-9)N无独立源(3-6-11)由(由(3-6-11)还还可得可得(3-6-12)把(把(3-6-11)、)、(3-6-12)写成矩阵形式)写成矩阵形式该矩阵记为该矩阵记为K1上式简写为上式简写为记为记为I记为记为J记为记为0(3-6-14)(3-6-14)人为引入人为引入下列变量下列变量(3-6-13)(3-6-10)把(把(3-6-10)、()、(3-6-13)写成矩阵形式)写成矩阵形式记为记为Un记为记为U记为记
16、为H该矩阵记为该矩阵记为K22 K1上式简写为上式简写为(3-6-15)(3-6-14)(3-6-15)把(把(3-6-8)式)式 代入(代入(3-6-14)得 由(3-6-15)式得(3-6-18)把(把(3-6-18)式代入上式得)式代入上式得(3-6-17)(3-6-17)N+-U2I2+-U1I1 12 4+-U3 3I3-例例4-13(P6习题习题2-16)解(1)分析:则则原方程原方程可以当做节点电压方程。可以当做节点电压方程。其系数矩阵为其系数矩阵为定导纳阵定导纳阵Yn。N1F(b)IaUaUbIb+-+-N+-U2I2+-U1I1 1 2 4+-U3 3I3-(a)因为因为改接
17、后改接后的二端口网络的二端口网络没有公没有公共端共端,显然不能通过,显然不能通过3端子的开路端子的开路抑制来实现。下面应用抑制来实现。下面应用P143公式公式(3-6-17)的方法处理。的方法处理。(2)求解做做4端子浮地端子浮地运算(由不定导运算(由不定导纳阵的零和特性)纳阵的零和特性)SNI2I1 12 4 3I3I4(a)图变为)图变为N1 I1 I2 2 1 S 2 I3 33 444SNI2I1 12 4 3I3I4可根据式(可根据式(3-6-17)求解。)求解。SNI2I1 12 4 3I3I4N1F(b)IaUaUbIb+-+-可根据式(可根据式(3-6-17)求解。)求解。先化
18、简先化简先写出K1令SNI2I1 12 4 3I3I4令SNI2I1 12 4 3I3I4N1F(b)IaUaUbIb+-+-先化简先化简把上式代入把上式代入得得上式第三行与第四行是线性相关的,任取一行,有上式第三行与第四行是线性相关的,任取一行,有把代入前式化简得代入前式化简得与H1、H2对应块对应块H1、H2对应块对应块大家可以验证,上面的求解过程是大家可以验证,上面的求解过程是较简较简单单的,并有一定的校核功能,即如果在的,并有一定的校核功能,即如果在计算中计算中H1、H2对应块对应块不一致不一致或或后一半行后一半行不是线性相关的,则计算有问题!不是线性相关的,则计算有问题!解法二SNI
19、2I1 12 4 3I3I4SNI2I1 12 4 3I3I4先化简把上式代入把上式代入得得与H1、H2对应块对应块H1、H2对应对应块块上式第三行与第四行是线性相关的,任取一行,有代入前式化简得大家可以验证,上面的求解大家可以验证,上面的求解过程是过程是较简单较简单的,并有一定的,并有一定的的校核校核功能,即如果在计算功能,即如果在计算中中H1、H2对应块对应块不一致不一致或或后一半行后一半行不是线性相关的,不是线性相关的,则计算有问题!则计算有问题!对比两种解法,可以发现结果相同结果相同事实上,第二种解法的K1和K2只是做了换行的初等变化换行的初等变化用D表示第二次(解法二)第二次(解法二
20、)的系数阵,则同理可得(2)端子数为端子数为奇数奇数或端口间或端口间有公共端有公共端的处理。的处理。N+U2I2+-U1I1 12 4U3 3I3-+-5例例4-14图示网络的不定导纳阵为。图示网络的不定导纳阵为。求求三端口三端口网络的导纳参数(矩阵)。网络的导纳参数(矩阵)。下面我们用一道例题就是说明其原理。下面我们用一道例题就是说明其原理。这时的处理方法与(这时的处理方法与(1)不同,较()不同,较(1)复杂。)复杂。N+U2I2+-U1I1 12 4U3 3I3-+-5解:该题与前面讲的不同,有一个解:该题与前面讲的不同,有一个公公共端子共端子。下面我们一起处理。下面我们一起处理。N+U
21、2I2+-U1I1 12 4U3 3I3-+-51)分析并构造)分析并构造K1和和K2N+U2I2+-U1I1 12 4U3 3I3-+-5K1K22)代入公式求解所以有上式上式后两行是线性相关后两行是线性相关的,任取一行得的,任取一行得上式后上式后两行是线性相关两行是线性相关的,任取一行得的,任取一行得代入前式代入前式得得由此列可以看出当由此列可以看出当端子端子数为数为奇奇数数或端口间或端口间有公共端有公共端的处理方的处理方法。此例虽然较繁,但如果法。此例虽然较繁,但如果只只要求写出要求写出K1和和K2并不难。并不难。3)小结)小结端口电流端口电流除满足端口条件外,除满足端口条件外,还必须满足还必须满足相应的约束相应的约束;端口电压端口电压满足端口条件端口条件;人为变量人为变量应尽量使应尽量使 易求易求。这部分的题目这部分的题目并不好做并不好做,原来的原来的作业为:作业为:P5P6:2-13、2-14、2-15、2-16请自己选做。把请自己选做。把例题例题和和练习题练习题搞懂。搞懂。本章本章到此到此结束!结束!
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