(完整word版)截长补短法例题.pdf
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1、截长补短法例1.已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BCAB,AD=DC,BD平分ABC.求证:BAD+BCD=180.分析:因为平角等于180,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.证明:过点D作 DE垂直BA的延长线于点E,作DFBC于点F,如图 1-2 BD平分ABC,DE=DF,在RtADE与RtCDF中,CDADDFDERtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180,BAD+DCF=180,即BAD+BCD=180例2.已知,如图3-1,1=2,P为BN上一点,且P
2、DBC于点D,AB+BC=2BD.求证:BAP+BCP=180.分析:与例1 相类似,证两个角的和是180,可把它们移到一起,让它们是邻补角,即证明BCP=EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明:过点P作 PE 垂直 BA 的延长线于点E,如图 3-2 1=2,且PDBC,PE=PD,在RtBPE与RtBPD中,BPBPPDPERtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD,AB+BD+DC=BD+BE,AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.FEDCBA图 1-2 ABCDP12N图 3-1 P12NABCDE图 3-2 ABCD图 1-1 ADBCE图 2-
3、1 在RtAPE与RtCPD中,DCAEPDCPEAPDPERtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180例3.如图 2-1,ADBC,点E在线段AB上,ADE=CDE,DCE=ECB.求证:CD=AD+BC.分析:结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的.证明:在CD上截取CF=BC,如图 2-2 在FCE与BCE中,CECEBCEFCECBCFFCEBCE(SAS),2=1.又ADBC,ADC+BCD=180,DCE+C
4、DE=90,2+3=90,1+4=90,3=4.在FDE与ADE中,43DEDEADEFDEFDEADE(ASA),DF=DA,CD=DF+CF,CD=AD+BC.ADBCEF1234图 2-2 文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A
5、10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2
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10、3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F
11、5 ZM2A10A2T2V2例4.已知:如图4-1,在ABC中,C 2B,1 2.求证:AB=AC+CD.分析:从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延长AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC.证明:方法一(补短法)延长AC到E,使DC=CE,则CDECED,如图 4-2 ACB2E,ACB2B,BE,在ABD与AED中,ADADEB21ABDAED(AAS),AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC,AB=AC+DC.方法二(截长法)在AB上截取AF=AC,如图 4-3 在AFD与ACD中,ADADACAF21AFDACD(SAS),DF=DC,AFDACD.又ACB
12、2B,FDBB,FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD,AB=AC+CD.DCBA12图 4-1 EDCBA12图 4-2 FDCBA12图 4-3 文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q4J3 HD7D3I8E8F5 ZM2A10A2T2V2文档编码:CL10L8X2Q
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