(完整word版)微分方程及其应用.pdf
《(完整word版)微分方程及其应用.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(完整word版)微分方程及其应用.pdf(10页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、第九章 微分方程及其应用 9.1 微分方程及其相关概念所谓微分方程,就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数(或微分)的方程。例如,以下各式都是微分方程:2xdxdy.).(22tfkxdtdxhxdtxdm)()(xQyxPdxdy.0sin22lgdtdhdtd.0),()(nyyyxF.只含一个自变量的微分方程,称为常微分方程,自变量多于一个的称为偏微分方程。本章只研究常微分方程,因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数,称为该微分方程的阶。例如,、为一阶方程,、为二阶方程,而为n 阶方程。微分方程中可以不含有自变量或未知函数,但不能
2、不含有导数,否则就不成为微分方程。微分方程与普通代数方程有着很大的差别,建立微分方程的目的是寻找未知函数本身。如果P196 有一个函数满足微分方程,即把它代入微分方程后,使方程变成(对自变量的)恒等式,这个函数就叫做微分方程的解。例如331xy显然是的解,因为23)31(xdxxd。若方程解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数,则称此解为微分方程的通解,例如331xy就是的通解。从通解中取定任意常数的一组值所得到的解,称为微分方程的特解。例如331xy就是的一个特解。用来确定通解中任意常数值的条件称为定解条件,当自变量取某个值时,给出未知函数及其导数的相应值的条件称为初始条件。在本章中
3、,我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般为初始条件。例如,如果的初始条件为0y,则在代入到通解cxy331后,可以求得c,从而得到特解331xy。一般的,因为n阶微分方程的通解中含有n个独立的任意常数。需要有n个(一组)定解条件,所以n阶方程的初始条件为:10120 1000,nnyxyyxyyxyyxy其中1210,nyyyy为n个给定常数。微分方程的解所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线。通解的几何图形是一族积分曲线,特解所对应的几何图形是一族积分曲线中的某一条。例如,方程的积分曲线族如图9所示。其中331xy就是满足初始条件0y的特解。9.2 微分方程的经典案例例1 自由落体运动的规律
4、自由落体运动是指物体在仅受到地球引力的作用下,初速度为零的运动。根据经典力学的牛顿第二定律:物体动量变化的大小与它所受到的外力成正比,其方向与外力的方向一致。当物体的运动速度v的绝对值不大(与光速=3510km/s 相比较)时,其质量m可以是一恒量。于是这一运动定律能表达成,Fvmdtd或Fdtvdm(1)其中F表示物体所受外力的合力。对于仅受到地球引力作用的自由落体的运动,则有:dtSdvgmF,这里g表示重力加速度,其大小一般取为:2/8.9smg;S表示自由落体运动的路程,其大小以S表示之。注意到S的方向与g的方向一致,将dtSdvgmF,代入式后得到自由落体运动立场大小变化的规律:mg
5、dtSdm22或gdtSd22(2)运动规律式表示一个微分方程问题。等式(2)的左端是路程大小S的二次微商它的右端是常数g。这里S和g之间不是普通的函数关系,而是二微商的关系。例2 单摆运动单摆又称为钟摆或数学摆。所谓单摆运动是指一质量为m0 的小球,用长度为l的柔软细绳拴住,细绳的一端固定在某点O 处。小球在铅垂平面内运动,略去空气的阻力和细绳在O 点处的摩擦力。并且认为细绳的长度l不变,仅考虑地球的引力和细绳对小球的拉力(见图92)。在铅垂平面内引进以O 为坐标原点的极坐标系统,由于细绳长度不变且细绳总是直的,所以小球的位置用一个坐标t就能表示。这里表示细绳l和铅垂方向之间的夹角。铅垂方向
6、即是小球的平衡方向,它对应的为零。作用在小球上的地球引力的大小f为mg,其方向铅垂向下。重力沿细绳方向的分力的大小为cosmg,其方向沿细绳指向外。这个力与小球运动所需要的向心力刚好平衡。所以小球沿细文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7
7、Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E
8、3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档
9、编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8
10、I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7
11、N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7
12、K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7
13、D2 ZR7Z7I10E3Y10绳方向没有运动。重力在垂直于细绳方向的分力的大小为sinmg,它的方向与角增加的方向相反。根据牛顿第二定律得到单摆运动的规律为:sinmgmvdtd(3)根据圆周运动规律有:vdtdl于是从式(3)得出:sin22gdtdl(4)关系式(4)是包含及其二接微商的方程,并且不是线性而是非线性地出现在方程中(以sin这种非线性形式)。从方程(4)来求出随着时间变化规律的分析表达式是困难的。当|比较小时,对微分方程(4)能够进行线性化出处理,即用代替sin,或者说,用来近似sin。这样得到式(4)的线性化微分方程:gdtdl225在相同初始条件下服从微分方程5求得的随
14、时间t变化的规律t是单摆运动的近似规律。通常将式5写成如下的规范形式:0222kdtd(5)其中lgk2。例3 真空中的抛射体运动在真空中运动的抛射体,它的运动规律十分复杂。这里仅考虑在真空中抛射体的运动规律。即忽略抛射体所受的空气阻力,而仅考虑质量为m的抛射体受地球引力作用而引起的运动。取一直角坐标系Oxyz,Ox轴沿水平方向;Oy轴垂直于Ox轴;Oz轴垂直于xOy平面,并与Ox轴、Oy轴一起组成右手坐标系。依牛顿第二定律,抛射体的运动规律为:00222222dtydmmgdtzdmdtxdm(6)文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:
15、CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E
16、7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7
17、HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J
18、9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2
19、ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I
20、10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y1
21、0文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10抛射体的初始状态取为:sin|,0|,cos|;000000000vdtdzdtdyvdtdxzyxttt其中0v是抛射体的初始速度,位于xOy平面内,0v表示0v的大小;表示0v与水平方向(即Ox轴)之间的夹角(见图9-4)。例4 深水炸弹的水下运动一质量为m
22、的深水炸弹,从高为mh处自由下落到海中。这里不考虑深水炸弹在水平方向的运动,而仅考虑它在铅直方向的运动。由经典力学知:物体由高为mh处自由下落至海平面时,其铅垂方向的速度0v为:ghv20这里g为重力加速度。按如下方式取定坐标系:坐标原点O取在海平面上某处,Ox轴沿铅垂向下,(见图 9-5)。深水炸弹m自高度为mh处自由下落至海平面的时间为0t。于是深水炸弹的初始状态为:,00txghvttdtdx2|00深水炸弹在海中运动时,我们不考虑海水对它的浮力,这时炸弹受到两个力的作用,:一是地球引力mg,其方向铅垂向下;另一个是海水对炸弹的摩擦力。这个摩擦力是很复杂的,它和炸弹的形状、速度等因素有关
23、,这里近似的认为摩擦力的大小和炸弹的速度v成正比,比例系数即摩擦系数u为常数。摩擦力的方向与炸弹的速度方向相反,因而是铅垂向上的。于是摩擦力f能表示为:dtdxuvuf根据牛顿第二定律知深水炸弹在水下运动的规律为:mgvudtdvm或gdtdxmudtxd22(7)例5 放射性元素的衰变放射性元素铀由于不断的有原子放射出微粒子而变成其他元素,铀的含量就不断减少,这种现象叫做衰变。由原子物理学知道,铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。已知0t时铀的含量为0M,求在衰变过程中铀含量tM随时间t变化的规律。解铀的衰变速度就是tM对时间t的导数dtdM,由于铀的衰变速度与其含量成正比,故得微
24、分方程MdtdM其中0是常数,叫做衰变系数。前置符号是由于当t增加时M单调减少,即0dtdM文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档
25、编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8I3E7W7N7 HN7K2J9Y7D2 ZR7Z7I10E3Y10文档编码:CO8
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整 word 微分方程 及其 应用
限制150内