《可降阶微分方程》PPT课件.ppt
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1、分离变量分离变量:7.2 可分离变量微分方程 解分离变量的方程解分离变量的方程 1.1.可分离变量方程的概念可分离变量方程的概念 第七章第七章(只需两边求不定积分只需两边求不定积分)若若=则称则称(1)为可分离变量的方程为可分离变量的方程(1)(2)7.1 微分方程基本概念(略略)形如形如的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程.令令代入原方程得代入原方程得两边积分两边积分,得得积分后再还原积分后再还原便得原方程的通解便得原方程的通解.2.解法解法:分离变量分离变量:7.3 7.3 齐次方程齐次方程 1.定义定义若若令令可化为可分离变量的可化为可分离变量的形如形如的方程的方程的方程的方程形如形如原
2、方程为上述类型原方程为上述类型当当时时,令(b0)1).1).2).2).当当 时时,有惟一解有惟一解(x,y)=(h,k)通过变量代换化非标准类型通过变量代换化非标准类型为已知类型为已知类型方程是常用的方法方程是常用的方法如如P315第第7题题令令令令形如形如令令均可化为可分离变量的均可化为可分离变量的.令令可分离可分离可分离可分离可分离可分离一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程的通解的通解伯努利方程伯努利方程 令令求出此方程通解后求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解.(线性方程线性方程)原方程化为原方程化为一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程的通解的通
3、解简单复习简单复习7.4 1.连续函数连续函数满足下列方程满足下列方程:解解:令令又又求求则则两边求导得两边求导得(一阶线性非齐次一阶线性非齐次)通解通解=0,所以所以C=1则则注注:判别判别:P,Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,为全微分方程为全微分方程 则则2.求解方法及步骤求解方法及步骤:方法有三种方法有三种(参见参见P149,二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积)求原函数求原函数 u(x,y)由由 d u=0 知通解为知通解为 u(x,y)=C.则称则称为为全微分方程全微分方程(或或恰当方程恰当方程).1.定义定义:若存在若存在使使,简单复习简单复
4、习7.5 3.积分因子积分因子(恰当因子恰当因子)使使为全微分方程为全微分方程,在简单情况下在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得可凭观察和经验根据微分倒推式得到到为原方程的为原方程的积分因子积分因子.若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.常用微分倒推公式常用微分倒推公式:7.6 可降阶高阶微分方程 一、一、型的微分方程型的微分方程 二、二、型的微分方程型的微分方程 三、三、型的微分方程型的微分方程 第七章第七章(不显含不显含y)(不显含不显含x)二阶微分方程二阶微分方程一、一、令令因此因此即即同理可得同理可得依次通过依次通过 n 次积分次积分,可得含可得含 n 个任意
5、常数的通解个任意常数的通解.型的微分方程型的微分方程 连续连续 n 次不定积分次不定积分(且不要常数且不要常数)为为n-1次多项式次多项式.例例1.解解:积积分分不不要要常常数数所以通解为所以通解为:例例2.质量为质量为 m 的质点受力的质点受力F 的作用沿的作用沿 ox 轴作直线轴作直线运动运动,在开始时刻在开始时刻随着时间的增大随着时间的增大,此力此力 F 均匀均匀地减地减直到直到 t=T 时时 F(T)=0.如果开始时质点在原点如果开始时质点在原点,解解:据题意有据题意有t=0 时时设力设力 F 仅是时间仅是时间 t 的函数的函数:F=F(t).小小,求质点的运动规律求质点的运动规律.初
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