《工程数学场论》PPT课件.ppt
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1、第二章第二章 场场 论论目录 上页 下页 返回 结束 第一节第一节 场场 与时间无关的场称为稳定场,否则为不稳定场.1.场场:如果在空间或其部分空间的每一点,都对应着某个物理量的一个确定的值,该物理量的一个场场.如果该物理量是数量,称它为数量场;如果该物理量是矢量,称它为矢量场矢量场或向量场向量场.分别用表示.及则称在该空间定义了关于工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 2.数量场的等值面数量场的等值面数量场的等值面数量场的等值面在数量场 中,称曲面 为该数量场的等值面.在平面场 中,称曲线为它的等值线,如等温线、等高线等.一个等值面通过;等值面族充满了数
2、量场所在的空间,而且互不相交.由于数量场是单值的,所以场中的每一点有且仅有等值面等值线工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 3.3.矢量场的矢量线矢量场的矢量线矢量场的矢量线矢量场的矢量线设 C 为矢量场 中的曲线,如果C矢量线:上每一点对应的矢量 都与 C 相切,则称之为矢量线.设 为曲线上一点,因为 ,所以矢量线满足工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 解:解:矢量线所满足的微分方程为 由得又由合比定理 例例例例1.1.求矢量场的矢量线方程.过点目录 上页 下页 返回 结束 可得有将点 代入得所以所求矢量线方程为:
3、工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 第二节第二节 数量场的方向导数与梯度数量场的方向导数与梯度定义1:1.方向导数方向导数设是数量场中的一点,存在,则称此极限为 在点处沿 l 方向的方向导数,记作若沿方向 l工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1:1:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,证明证明:且有得若函数在点处可微,故在点 可微,由函数工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 定义定义定义定义2 2:设是数量场中的一点,存在,则称此极限为 在点处沿曲线
4、C(正向)的记作若沿曲线C 之正向方向导数,定理定理定理定理2:2:曲线C光滑,若在点处函数 可微、l 为 C 在 处 的切线方向(正向),则工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1.1.在点是曲面设处指向下侧的法向量,求函数在点M处沿 的方向导数.解解:方向余弦为而法向量为所以所以工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 例例例例2 2.朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用矢量形式表示为它在点 P 的切向量为在点P(2,3)沿曲线求函数工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回
5、 结束 2.梯度梯度梯度梯度记作 gradu,即定义:定义:称向量为数量场 u(M)在设有矢量场在点处,点 M 处的梯度,引入哈密顿算子:有工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 性质:性质:性质:性质:方向:u 变化率最大的方向 模:u 的最大变化率之值1)2)3)为等值面在点 M 处的法向量,u(M)增大的一方.指向数量场注:注:称为由数量场u产生的梯度场.矢量场工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 运算公式运算公式运算公式运算公式工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 例例例例3
6、.3.证证:试证处矢径 r 的模,工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 例例例例4.4.作出数量场所产生的梯度场的矢量线.解解:数量场所产生其矢量线满足微分方程 所以矢量线方程为:的梯度场为工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 第三节第三节 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度定义:定义:1.通量通量简单曲线简单曲线:没有重点的连续曲线;没有重点的连续曲线;简单曲面简单曲面:没有重点的连续曲面;没有重点的连续曲面;设有矢量场 ,中有向曲面S某一侧的曲面积分向积分所沿一侧叫做矢量场穿过曲面S的通量.沿其工程数学工程数学-
7、矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 设又所以通量为 当 0 时,当 0 时,当=0 时,不能判定S内有无源.表明S 内有正源源;表明S 内有负源;通量的物理意义通量的物理意义通量的表示通量的表示通量的表示通量的表示工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1.1.解解:设由矢径构成的矢量场中,有一由圆锥面及平面所围成的封闭曲面S,试求 从S内穿出S的通量.由奥-高公式工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 2.2.散度散度散度散度定义:定义:存在,则称此极限为 在点处的散度,记作若设有矢量场 ,
8、表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场 A 处处有,则称 A 为无源场.说明说明:散度是通量对体积的变化率,且工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 定理定理定理定理:在任一点M(x,y,z)的散度为在直角坐标系中,矢量场证明:证明:由奥-高公式工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 又由中值定理得所以其中 为 中的某一点,工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论目录 上页 下页 返回 结束 推论推论推论推论1 1:奥-高公式的矢量形式推论推论2:若在封闭曲面 S
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