用叉乘求法向量.doc
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1、平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量 1、定义:如果,那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类从方向上分,无数条。2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面的法向量或,或,在平面内任找两个不共线的向量。由,得且,由此得到关于的方程组,解此方程组即可得到。方法二:任何一个的一次次方程的图形是平面;反之,任何一个平面的方程是的一次方程。 ,称为平面的一般方程。其法向量;假设平面与3个坐标轴的交点为,如下图,那么平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程,把它化为一般式即可求出它的法向量。图1-1C1CByFADxA1D1zB1E方法三(外积法): 设 , 为
2、空间中两个不平行的非零向量,其外积为一长度等于,为,两者交角,且,而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取右手定那么,也就是右手四指由 的方向转为 的方向时,大拇指所指的方向规定为的方向,。 注:1、二阶行列式: ;2、适合右手定那么。试求1:2:Key: (1) ;例2、如图1-1,在棱长为2的正方体中,图2-1-1BAC求平面AEF的一个法向量。AB图2-1-2C二、 平面法向量的应用1、 求空间角(1)、求线面角:如图2-1,设是平面的法向量,AB是平面的一条斜线,那么AB与平面所成的角为:图2-1-1:图2-1-2:图2-3图2-2(2)、求面面角:设向量,分别是平面、的法向量,那么二面角
3、的平面角为:图2-2;(图2-3)两个平面的法向量方向选取适宜,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定,在图2-2中,的方向对平面而言向外,的方向对平面而言向内;在图2-3中,的方向对平面而言向内,的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积简称“外积,满足“右手定那么使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,那么这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。2、 求空间距离1、异面直线之间距离:方法指导:如图2-4,作直线a、b的方向向量、,图2-4nabAB求a、b的法向量,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量;在直线a、b上各取一点A、B,作向量;求向量在上的射影d,那么异面直线a、
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